Ejercicios resueltos de integración por partes II
Resuelve las siguientes integrales aplicando integración por partes:
Tipo III
Tipo IV
Resuelve:
Ejercicios integación por partes I
Nota de clase
En este caso x2 se integra más fácil que Ln x y la derivada de Ln x es más simple, por lo que hacemos: u = Ln x
También podríamos haber resuelto la integral I1 como una integral racional, dividiendo numerador entre denominador y aplicando la fórmula del cociente.
Ver integrales racionales.
Solución de I :
Para resolver la nueva integral dividimos numerador entre denominador y aplicamos la fórmula del cociente; después descomponemos la integral.
Solución de I :
Observamos que nos ha salido de nuevo la integral I .
Solución de I :
Despejamos I de la ecuación:
Aplicamos la fórmula del ángulo doble: sen 2x = 2 sen x cos x
Ver fórmulas trigonométricas.
Calculamos la nueva integral aplicando integración por partes:
Vemos que nos ha salido de nuevo la integral I1 , se trata de una integral cíclica.
Pasamos al primer miembro -4I1 :
Sabemos lo que vale I1 , por lo que ya podemos calcular la integral I :
Primera integral:
Segunda integral:
La integral que nos ha salido es una integral racional con grado del numerador mayor que el del denominador.
Ver integrales racionales.
Solución de I :
Observamos que el argumento del primer logaritmo es Ln x , y la derivada de éste es 1/x , que también aparece en la integral. Por tanto, si hacemos un cambio de variable la integral quedará más sencilla:
Como no sabemos integrar el logaritmo, aplicamos integración por partes de tipo II:
Deshacemos el cambio, es decir, escribimos t = Ln x :