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Ejercicios resueltos de integración por partes   II

Resuelve las siguientes integrales aplicando integración por partes:


Tipo III

ejercicios integracion por partes


ejercicios integrales por partes


ejercicios integrales por partes


ejercicios integrales por partes


ejercicios integrales por partes


ejercicios integrales por partes

Tipo IV

ejercicios integracion por partes


ejercicios integracion por partes


ejercicios integrales por partes





Resuelve:

ejercicios integrales resueltas


ejercicios integrales resueltas



Ejercicios integación por partes I

Nota de clase

ejercicios integracion por partes

integracion por partes u v

En este caso   x2   se integra más fácil que   Ln x   y la derivada de   Ln x   es más simple, por lo que hacemos:   u = Ln x  

ejemplo integracion por partes

ejemplo integracion por partes

ejercicios integrales por partes


integral por partes

integral por partes logaritmo


integral por partes resuelta

integral por partes solucion

ejercicios integrales por partes


integral por partes logaritmo

integral por partes logaritmo


integral por partes logaritmo

integral racional resuelta

     integral por partes solucion

También podríamos haber resuelto la integral   I1   como una integral racional, dividiendo numerador entre denominador y aplicando la fórmula del cociente.
Ver integrales racionales.


Solución de I :

integral por partes logaritmo

integral por partes logaritmo

ejercicios integrales por partes

integral por partes u y v

integral por partes u y v


solucion integral por partes

Para resolver la nueva integral dividimos numerador entre denominador y aplicamos la fórmula del cociente; después descomponemos la integral.

division polinomios                    

formula cociente


integral racional resuelta

solucion integral racional

Solución de I :

integrales vaca resueltas

solucion integral por partes

ejercicios integrales por partes

integral por partes u y v

integral por partes u y v


integral por partes resuelta

solucion integral por partes

ejercicios integrales por partes

integral por partes u y v

integracion por partes u v


integral por partes resuelta

solucion integral por partes

ejercicios integracion por partes


integracion por partes u v

ejemplo integracion por partes

ejemplo integracion por partes

ejemplo integracion por partes

ejemplo integracion por partes

ejemplo integracion por partes

ejemplo integracion por partes

ejemplo integracion por partes

ejercicios integracion por partes


integral vaca

integral por partes u v


integral por partes exponencial seno


integral por partes exponencial coseno

integral por partes u v


integral por partes exponencial coseno

Observamos que nos ha salido de nuevo la integral   .

Solución de   I  :

integral por partes exponencial seno

Despejamos    de la ecuación:

integral por partes solucion

ejercicios integrales por partes


integracion por partes

integracion por partes u y v


integral por partes resuelta

Aplicamos la fórmula del ángulo doble:      sen 2x = 2 sen x cos x
Ver fórmulas trigonométricas.

integral por partes



Calculamos la nueva integral aplicando integración por partes:

integracion por partes u y v

integracion por partes u y v

integral por partes resuelta

 

integracion por parte u y v

integral por partes resuelta

integral por partes resuelta

integral por partes resuelta

Vemos que nos ha salido de nuevo la integral   I1 , se trata de una integral cíclica.
Pasamos al primer miembro    -4I:

 

integral por partes ciclicasolucion integral por partes

solucion integral por partes



Sabemos lo que vale   I1 , por lo que  ya podemos calcular la integral   :

integral por partes resuelta

solucion integral por partes doble

ejercicios integrales resueltas

integral de una suma


Primera integral:

integral vaca

integral por partes u v


integral por partes

integral por partes solucion


Segunda integral:

integral vaca

integral por partes u v


integral por partes resuelta

La integral que nos ha salido es una integral racional con grado del numerador mayor que el del denominador.
Ver integrales racionales.


division de polinomios           

formula del cociente


integral racional resuelta

integral racional resuelta

integral racional resuelta



Solución de    I :

ejercicios integrales resueltas

ejercicios integrales resueltas

Observamos que el argumento del primer logaritmo es   Ln x ,  y la derivada de éste es   1/x ,  que también aparece en la integral. Por tanto, si hacemos un cambio de variable la integral quedará más sencilla:

integral cambio de variable

integral por cambio de variable resuelta

Como no sabemos integrar el logaritmo, aplicamos integración por partes de tipo II:

integral por partes u y v

integral por partes u y v

integral por partes resuelta

Deshacemos el cambio, es decir, escribimos   t = Ln x :

integral cambio de variable y por partes