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Cálculo del límite de una función en un punto

Caso I:

Si   f(x)   es una función polinómica, racional, logarítmica, trigonométricas, etc. y está definida en el punto   x = a   se cumple que:

calculo limite

Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tiende la variable dependiente   x .


Ejemplo:

ejemplo limite


ejemplo limite


ejemplo limite


Caso II:

Si   f(x)   no está definida en el punto   x = a   pueden darse tres posibilidades:

     1) Que no tenga sentido calcular el límite.

     2) Que no exista el límite.

     3) Que exista el límite pero haya que deshacer una indeterminada.


Ejemplos:

ejemplo no limite


No tiene sentido calcular el límite puesto que la función no está definida en el punto   x = - 3 .


ejemplo no limite


La función no está definida en   x = 2 .  Cuando   x → -2   tenemos que:

ejemplo no limite

No coinciden los límites laterales por la izquierda y por la derecha, luego no existe el límite.


          grafica limites laterales


ejemplo indeterminada


Aunque inicialmente el límite da una indeterminación, podemos calcularlo factorizando y simplificando la fracción algebraica.


En la gráfica se puede ver que el límite de la función cuando x tiende a 3 es 1/6.


          limite indeterminada


Caso III:

Para las funciones definidas a trozos, además de los métodos anteriores, hay que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Ejemplo del límite de una función definida a trozos

función a trozos

límite lateral


límite lateral


Los límites laterales existen y además coinciden, por tanto:


límite


izquierda
         arriba
derecha