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Problemas resueltos de optimización I

Figuras planas

Nombre Dibujo Perímetro Área
Cuadrado formulas cuadrado P = 4a A = a2
Rectángulo formulas rectangulo P = 2b + 2a A = ba
Rombo formulas rombo P = 4a area rombo
Romboide formulas romboide P = 2a + 2b A = b h
Trapecio formulas trapecio P = a + B + b + c area trapecio
Trapecio
isósceles
trapecio isosceles P = 2a + B + b area trapecio
Triángulo formulas triangulo P = a + b + c

semiperimetro
area triangulo
area triangulo
Triángulo
equilátero
triangulo equilatero P = 3a

altura triangulo equilatero
area triangulo equilatero
Triángulo
rectángulo
formulas triangulo rectangulo P = a + b + c

a2 = b2 + c2
area triangulo rectangulo
Hexágono
regular
formulas hexagono P = 6l = 6R

ap = apotema
apotema hexagono
area hexagono
Pentágono
regular
formulas pentagono P = 5l ap = apotema

area pentagono
Círculo formulas circulo circunferencia L = 2πR A = πR2
Sector
circular
sector circular longitud sector circular
L = R α

P = 2R + L
area sector grados
area sector radianes       
Corona
circular
corona de esfera L = 2π (R + r) A = π (R2 - r2)
Elipse formulas elipse longitud elipse A = π a b

Cuerpos en el espacio

  Dibujo Área Volumen
Cubo formulas cubo diagonal cubo

A = 6 a2
V = a3
Ortoedro formulas ortoedro diagonal ortoedro

A = 2( a·b + a·c + b·c )
V = a · b · c
Prisma prisma PB = perímetro de la base

AL = PB · h
AT = AL + 2·AB
V = AB h
Pirámide formulas piramide PB = perímetro base
Ap = apotema pirámide
ap = apotema de la base
Ap2 = h2 + ap2

area lateral piramide
AT = AL + AB
volumen piramide
Cilindro formulas cilindro AL = 2 π R h
AB =2 π R2
AT = 2 π R (h + R)
V = π R2 h
Cono formulas cono g2 = R2 + h2

AL = π R g
AB = π R2
AT = π R (g + R)
volumen cono
Tronco
de cono
tronco de cono AL = π (R + r) g

AT = π [ g(R + r) + R2 + r2 ]
volumen tronco de cono
Esfera formulas esfera A = 4 π R2 volumen esfera
Cuña cuña A = área cara superior
AB = área base

A = AB sec θ

Descomponer el número 80 en dos sumandos cuyo producto sea máximo.


optimizacion producto numeros

Para hallar el máximo de la función, calculamos su derivada e igualamos a 0:

P ' (x) = 80 - 2x = 0     ⇔     2x = 80     ⇔     x = 40

Además, tenemos que:     P '' (x) = -2 < 0     ⇒     Máximo

Por lo tanto, los números son:     x = 40     y = 40

Un número más el cuadrado de otro número suman 48. ¿Cómo deben elegirse dichos números para que su producto sea máximo?


Las condiciones del problema son las siguientes:

optimizacion producto numeros

Por lo tanto tenemos que optimizar la siguiente función:     P(y) = 48y - y3

Calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

P ' (y) = 48 - 3y2 = 0     ⇔3y2 = 48     ⇔     y2 = 16     ⇔     y = 4   (descartamos la solución negativa)

Comprobamos que la solución es un máximo mediante la segunda derivada:

P '' (y) = -6y     ⇒     P ''(4) = -24 < 0     ⇒     Máximo

Por tanto los dos números que buscamos son:

optimizacion producto numeros

Un agente comercial cobra por la venta de mercaderías una comisión:

selectividad optimizacion

donde x representa la cantidad en miles de pesetas de la venta efectuada. Determinar la cantidad que habrá que vender para que la comisión que haya que pagar sea máxima.

Para encontrar el máximo tenemos que calcular la derivada de la función e igualarla a 0:

selectividad optimizacion

selectividad optimizacion

Vamos a comprobar si   x = 5   es máximo de la función:

optimizacion costes

En particular,  C'' < 0   para   x = 5 ,  luego es máximo de la función.

Para   x = 5   la comisión será máxima, y valdrá:

selectividad optimizacion

Una persona quiere vallar un campo rectangular de 10.000 m2 de superficie. ¿Cuáles serán las dimensiones para que el coste sea mínimo?


1)   Para resolver un problema de optimización debemos encontrar una función a la que calcularle sus extremos (máximos o mínimos).

Por lo tanto tenemos que localizar las variables que definan la función que queremos optimizar.

En nuestro caso las variables que definen a la superficie corresponden al ancho (x) y alto (y) del campo:


     S = x · y      ⇒      10.000 = x · y

A continuación despejamos una de ellas en función de la otra:

     optimizacion

La función que queremos minimizar es la función perímetro dada por:

     P = 2x + 2y


optimizacion

Sustituimos en   P   el valor de y , de manera que nos queda   P   en función de   x :

     optimizacion

2)    Calculamos la primera derivada de   P   y la igualamos a   0:

     optimizacion

Resolvemos la ecuación:

optimizacion

Para x = - 100 no tiene sentido el problema ya que la longitud tiene que ser positiva.

Comprobamos que para   x = 100   la función tiene un mínimo:

     optimizacion

     optimizacion

3)   Calculamos las imágenes de los extremos:

     optimizacion

Se dispone de   3.000 €   para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de   10 €/metro   y el de la valla de los restantes lados es de   2 €/metro ,  ¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máxima que se puede vallar?


optimizacion vallado

Puesto que la forma del terreno es rectangular, llamaremos  x   a su base e   y   a su altura.

Supongamos que es el lado   x   el que está situado junto al camino.

Entonces, el precio total del vallado será la suma del coste de cada lado:

3.000 = 10x + 2y + 2y + 2x      ⇒      3.000 = 12x + 4y      ⇒      y = 750 - 3x

Reuniendo dicha expresión junto con la fórmula del área del rectángulo tenemos:

optmizacion area rectangulo

Para encontrar un máximo de la función área tenemos que calcular su derivada e igualarla a 0:

A '(x) = 750 - 6x = 0      ⇒      6x = 750      ⇒      x = 125 metros

Comprobamos que es un máximo estudiando el signo de la segunda derivada:

A ''(x) = - 6 < 0      para cualquier valor de   x

Por tanto,  x = 125 m.   maximiza el área del rectángulo.

y = 750 - 3x = 750 - 3·125 = 375 metros

Las dimensiones del rectángulo deberán ser   125 m.  y   375 m.  .

Sea   T   un triángulo de perímetro 60 centímetros. Uno de los lados del triángulo   T   mide   x   cm y los otros lados tienen la misma longitud.

a) Deducir razonadamente las expresiones de las funciones   A   y   f   tales que:
        A(x) = Área del triángulo   T
        f(x) = [A(x)]2
Indicar además entre qué valores puede variar   x  .

b) Obtener, razonadamente, el valor de   x   para el que   f(x)   obtiene el valor máximo.


optimizacion area triangulo

optimizacion area triangulo

Como sabemos que:     x + 2y = 60

optimizacion area triangulo

Por lo tanto tenemos que:

optimizacion area triangulo

Una vez calculada la función   A(x)   tenemos que:

optimizacion area triangulo

Para obtener el valor máximo de la función, calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

optimizacion area triangulo

optimizacion area triangulo

optimizacion area triangulo

Para comprobar que   x = 20   es un máximo calculamos la segunda derivada:

optimizacion area triangulo

optimizacion area triangulo

Por lo tanto, en   x = 20   la función alcanza su máximo.

Determinar el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.


optimizacion triangulo rectangulo


En un triángulo rectángulo, el mayor lado corresponde con la hipotenusa:

optimizacion triangulo rectangulo

Para determinar el mayor área, calculamos la primera derivada y la igualamos a 0:

optimizacion triangulo rectangulo

optimizacion triangulo rectangulo

Descartamos la raíz negativa de la anterior ecuación puesto que   a > 0 .

Para comprobar que dicho valor es un máximo, calculamos la segunda derivada:

optimizacion triangulo rectangulo

optimizacion triangulo rectanculo

Por lo tanto, las dimensiones serían las siguientes:

optimizacion triangulo rectangulo

optimizacion triangulo rectangulo

Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.


optimizacion triangulo rectangulo

optimizacion triangulo rectangulo

Para hallar el valor máximo, calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

optimizacion triangulo rectangulo

Comprobamos que corresponde con un máximo:

optimizacion triangulo rectangulo

Por lo tanto, la solución es la siguiente:

optimizacion triangulo rectangulo

Un solar rectangular de 11.250 m2 se divide en tres zonas rectangulares iguales para venderlo. Se valla el borde del campo y la separación de las zonas. Calcula las dimensiones del solar para que la longitud de valla utilizada sea mínima.


optimizacion rectangulo

A partir de la superficie del solar, despejamos la variable   y   y sustituimos en la función que define la longitud de la valla a utilizar:

optimizacion rectangulo

Para hallar el valor mínimo, calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

optimizacion rectangulo

Comprobamos que se trata de un mínimo a través de la segunda derivada:

optimizacion rectangulo

Por lo tanto la solución es la siguiente:

optimizacion rectangulo

Con   60 centímetros  de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados miden  x  e  y .  ¿Qué valores de  x   e   y   hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima?


optimizacion alambre

Recordamos que la altura y el área de un triángulo equilátero viene dada por:
altura triangulo equilatero               area triangulo equilatero
donde  a   es el lado del triángulo equilatero.


Los  60 cm  deben ser igual a la suma de los perímetros de ambos triángulos.
60 = 3x + 3y      ⇒      20 = x + y

Planteamos la condición anterior junto con la función suma de las áreas:

optimización suma areas

Simplificamos la función área:

optimizacion suma areas

Para encontrar un mínimo de la función área calculamos su derivada e igualamos a 0 :

optimizacion suma areas

Comprobamos que es un mínimo calculando la segunda derivada:
A ''(x) = √3 > 0      para cualquier valor de x

Luego   x = 10 cm   es un mínimo de la función.
Si     x = 10      ⇒      y = 20 - x = 20 - 10 = 10 cm

Las dimensiones pedidas son  x = 10 cm ,   y = 10 cm .

Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.


optimizacion hilo cordon


Las condiciones que nos da el problema son las siguientes:

optimizacion hilo cordon

optimizacion hilo cordon

Para hallar el valor mínimo, calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

optimizacion hilo cordon

optimizacion hilo cordon

Comprobamos que se trata de un mínimo mediante la segunda derivada:

optimizacion hilo cordon

Por lo tanto el hilo se tiene que dividir en tres trozos de   30 m ,   60 m   y   50 m.

Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima.


optimizacion alambre

optimizacion alambre

optimizacion alambre

optimizacion alambre

Para hallar el valor que hace mínima a la función, calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

optimizacion alambre

Comprobamos que se trata de un mínimo mediante la segunda derivada:

optimizacion alambre

Por lo tanto, el valor mínimo de la suma de las áreas se obtiene cuando:

optimizacion cono

Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular. Si dispone de 20 metros de alambre para rodearlo, ¿qué radio debe tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie posible? ¿cuál será la amplitud en radianes del sector?


Un sector circular es una porción de un círculo tal y como se muestra en la figura.

Las condiciones que nos da el problema son las siguientes:

optimizacion sector circular

optimizacion sector circular

Para optimizar la función obtenida, calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

optimizacion sector circular

Comprobamos que se trata de un valor máximo calculando la segunda derivada:

optimizacion sector circular

Por lo tanto, para que el área del sector circular sea máxima el radio tiene que ser de 5 metros.

Por otra parte, la amplitud en radianes puede calcularse a través de las siguientes fórmulas:

optimizacion sector circular

De entre todos los sectores circulares de área 1, hallar el de perímetro mínimo.


Las condiciones que nos determina el problema son las siguientes:

optimizacion sector circular

Por lo tanto, la función a optimizar es:

optimizacion sector circular

A continuación calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

optimizacion sector circular

Comprobamos que   R = 1   es un mínimo (descartamos la solución negativa al no tener sentido geométrico):

optimizacion sector circular

Por lo tanto, el sector circular de área 1 cuyo perímetro es mínimo es el de radio 1.




optimizacion sector circular