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Ejercicios de derivadas de valor absoluto, parte entera, parte decimal, función signo

Calcula la derivada de las siguiente función   f(x) = | x - 3 |     y demuestra que no tiene tangente en el punto x = 3 .

Calculamos los límites laterales en el punto   x = 3 :

          derivada lateral

Como los límites laterales (derivada por la izquierda y derivada por la derecha no son iguales, la función   f(x)   no es derivable en   x = 3   y la gráfica de    f(x)   no tiene tangente en el punto   (3, 0) .

          grafica valor absoluto          grafica derivada valor absoluto

funcion derivada valor absoluto

Calcula la derivada de las siguiente función:   f(x) = | x2 - 1 |

Según la regla general, la derivada es la función signo de lo que queda dentro del valor absoluto, por la derivada de eso mismo, es decir:

regla cadena funcion valor absoluto

Por lo tanto tenemos que:

regla cadena funcion valor absoluto

x = ±1   son los puntos angulares de la función, puesto que no pueden tener rectas tangentes en dichos puntos. Por lo tanto la función no es derivable en    x = ±1 .


grafica derivada valor absoluto

Estudia la derivabilidad de la función:   f(x) = E(x)

La función parte entera no es continua en   x = 0  ,  por lo tanto no es derivable en   x = 0 .

Lo comprobamos calculando los límites laterales en   x = 0 .

limite lateral

limite lateral

En general, la función es discontinua en los puntos de abscisa entera, luego en estos puntos no es derivable.

grafica parte entera

Estudia la derivabilidad de la función:   f(x) = Dec(x)

La función parte decimal no es continua en   x = 1  ,  por lo tanto no es derivable en   x = 1 .

Lo comprobamos calculando los límites laterales en   x = 1 .

derivada funcion parte entera

derivada funcion parte entera

En general, la función es discontinua en los puntos de abscisa entera, luego en estos puntos no es derivable.

grafica derivada parte entera

¿Es derivable la función   f(x) = sig(x - 1)   en el punto   x = 1 ?

Lo comprobamos calculando los límites laterales en   x = 1 .

derivabilidad funcion signo

derivabilidad funcion signo

La función   f(x) = sig(x - 1)   no es continua en   x = 1  ,  por lo tanto no es derivable en   x = 1 .

La función presenta una discontinuidad de salto finito en el punto   x = 1 .

grafica funcion signo