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Derivadas laterales

Se define la derivada por la izquierda de   f(x)   en el punto   x = a :

          derivada lateral izquierda

Se define la derivada por la derecha de   f(x)   en el punto   x = a :

          derivada lateral derecha

A ambas derivadas se les llama derivadas laterales.


Derivabilidad y continuidad en un punto

continuidad derivada

Si   f(x) es derivable en x=a   si   es continua en    x = a    y existen los límites laterales de la función derivada y estos son iguales.


Derivabilidad y continuidad en un intervalo

Se dice que   f(x)   es derivable en un intervalo cerrado   [a, b]   si es derivable en   (a, b)   y existen además las derivadas por la derecha en    x = a    y por la izquierda en    x = b.


Casos en que una función es continua y no es derivable

Ejemplo de una gráfica con un punto angular:

Sea la función   f(x) = | x - 3 |

Calculamos los límites laterales en el punto   x = 3 :

          derivada lateral

Como los límites laterales (derivada por la izquierda y derivada por la derecha no son iguales, la función   f(x)   no es derivable en   x = 3   y la gráfica de    f(x)   no tiene tangente en el punto   (3, 0) .

          grafica valor absoluto


grafica derivada valor absoluto

Ejemplo de una gráfica con una recta tangente vertical:

funcion raiz cubica

f(x)   es continua en   x = 0 . Sin embargo, al calcular el límite cuando   x   tiende a   0 , obtenemos:

limite raiz cubica

El límite de la función   f(x)   cuando   x   tiende a   0   es infinito, luego la recta tangente en    x = 0   es vertical. Es decir, la función   f(x)   no es derivable en   x = 0 .

          grafica raiz cubica          grafica derivada raiz cubica

Ejemplo de una función a trozos continua y no derivable:

Dada la siguiente función:

funcion a trozos

1) Comprobar que es continua en   x = 1   pero no derivable.

2) Da un ejemplo de función que sea derivable y no sea continua.


1) La función será continua si y solo si se cumple que:

condicion continuidad

Como   f(1) = 1 , tenemos que hallar los límites laterales:

limite lateral

limite lateral

Hemos demostrado que:

condicion continuidad

Por lo tanto la función es continua en el punto   x = 1 .

Para comprobar que la función no es derivable en   x = 1, hay que demostrar que no existe el siguiente límite:

derivabilidad

Para ello basta con probar que los límites laterales son distintos:

Límite por la izquierda


derivada lateral


derivada lateral

Límite por la derecha

derivada lateral

derivada lateral

derivada lateral

Como los límites laterales en   x = 1   son distintos, la función no es derivable en dicho punto.

2) No es posible encontrar un ejemplo puesto que todas las funciones derivables son continuas.

Conclusión entre derivabilidad y continuidad:

Según los dos ejemplos anteriores una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Esto ocurre en los puntos angulosos o angulares y en los puntos cuya tangente es una recta vertical (perpendicular al eje X).

DERIVABLE IMPLICA CONTINUIDAD

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él. No ocurre en sentido contrario como se ha demostrado en los ejemplos anteriores.

izquierda
         arriba
derecha