Ejercicios de derivadas I
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
1) y = 3π y' = 0
2) y = e5 y' = 0
3) y = x y' = 1·x1-1 = x0 = 1
4) y = x7 y' = 7·x7-1 = 7x6
5) y = 4x4 y' = 4·4·x4-1 = 16x3
6) y = 1/x y = 1/x = x-1 → y' = (-1)x-1-1 = - x-2 = -1/x2
7) y = 1/x3 y = 1/x3 = x-3 → y' = (-3)x-3-1 = -3x-4 = -3/x4
8) y = 6/x2 y = 6/x2 = 6x-2 → y' = 6·(-2)·x-2-1 = -12x-3 = -12/x3
11) y = ex y' = ex
12) y = 2·ex y' = 2·ex
13) y = 5x y' = 5x Ln 5
14) y = Ln x y' = 1/x
18) y = sen x y' = cos x
19) y = 2 cos x y' = 2(- sen x) = - 2sen x
20) y = π tg x y' = π (1 + tg2 x)
Calcula las derivadas de las siguientes funciones aplicando la propiedad del producto de un número por una función:
1) y = 6x y' = 6·(1·x1-1 )= 6 x0 = 6·1 = 6
2) y = (-3)·4x y' = (-3)·4x·Ln 4
3) y = π2·sen x y' = π2·cos x
Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
1) y = x + x2
u = x → u' = 1
v = x2 → v' = 2x2-1 = 2x
y = u + v → y' = u' + v' = 1 + 2x
2) y = 3x3 + 5x4
u = 3x3 → u' = 3·3x3-1 = 9x2
v = 5x4 → v' = 5·4x4-1 = 20x3
y = u + v → y' = u' + v' = 9x2 + 20x3
4) y = cos x · tg x
u = cos x → u' = - sen x
v = tg x → v' = 1 + tg2
y = u · v → y' = u'·v + u·v' = (-sen x)(tg x) + (cos x)(1 + tg2 x)
5) y = 3 x5· Ln x
u = 3x5 → u' = 3·5x5-1 = 15x4
v = Ln x → v' = 1/x
u = ex → u' = ex
v = 5 cos x → v' = 5(- sen x) = -5 sen x
u = x2 - sen x → u' = 2x - cos x
v = Ln x → v' = 1/x
Aplicamos m.c.m(2√x , 1) = 2√x
Calcula la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena:
1) y = sen(2x)
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = 2x → u' = 2
y = sen(2x) → y' = 2 cos(2x)
2) y = cos2 x
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = cos x → u' = - sen x
y = cos2 x = (cos x)2 → y' = (- sen x) 2 (cos x) = -2 (sen x) (cos x)
3) y = Ln (x2 + x)
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = x2 + x → u' = 2x + 1
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = 3 + 2x3 → u' = 0 + 2·3x3-1 = 6x2
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = 5x3 - x2 → u' = 15x2 - 2x
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = x2 - 1 → u' = 2x
7) y = cos(Ln x)
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = Ln x → u' = 1/x
8) y = Ln(Ln x)
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = Ln x → u' = 1/x
9) y = (Ln x)2
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = Ln x → u' = 1/x
10) y = sen(sen x)
y = f(u) y' = u' f '(u)
u = sen x → u' = cos x
Calcula las siguientes derivadas compuestas, pasándolas a forma potencial si fuese necesario:
1) y = (x3 - x)2
y = un y' = n · un-1 · u'
u = x3 - x → u' = 3x3-1 - 1 = 3x2 - 1
y = (x3 - x)2 → y' = 2(x3 - x)2-1(3x2 - 1) = 2(x3 - x)(3x2 - 1)
2) y = (x3 + 2x2 - 5)-3
y = un y' = n · un-1 · u'
u = x3 + 2x2 - 5 → u' = 3x2 + 4x
y = (x3 + 2x2 - 5)-3 → y' = (-3)(x3 + 2x2 - 5)-3-1 (3x2 + 4x) = - 3(x3 + 2x2 - 5)-4 (3x2 + 4x)
y = un y' = n · un-1 · u'
u = x2 - 5x + 1 → u' = 2x - 5
Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula de la raíz:
y = un y' = n · un-1 · u'
u = 5x3 - x2 → u' = 15x2 - 2x
Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula del cociente, el resultado es el mismo.
y = un y' = n · un-1 · u'
Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula del cociente, el resultado es el mismo.
y = un y' = n · un-1 · u'
Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula del cociente, el resultado es el mismo.
y = un y' = n · un-1 · u'
Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula de la raíz:
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
1) y = 3e5x+ 1
y = un y' = u' · eu
u = 5x + 1 → u' = 5
y = 3e5x+ 1 → y' = 3·5·e5x + 1 = 15 e5x + 1
Aplicamos la fórmula de la derivada para el producto:
Aplicamos la fórmula de la derivada para el cociente:
Aplicamos m.c.m. del denominador marcado en color rojo:
y = au y' = u' · au · Ln a
u = √x → u' = 1/(2√x)
Aplicamos la fórmula de la derivada para el producto: