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Concavidad y convexidad y puntos de inflexión de una función

Concavidad de una función

Una función   f(x)   es concava hacia arriba o simplemente concava en un punto, si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por debajo de la gráfica.


concava


La función   f(x) = x2 + 1   es concava puesto que la tangente para cualquier punto queda por debajo de la gráfica de la función.



Convexidad de una función

Una función   f(x)   es concava hacia abajo o simplemente convexa en un punto, si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por encima de la gráfica.


convexa


La función   f(x) = - x2 - 3x   es convexa puesto que la tangente para cualquier punto queda por encima de la gráfica de la función.



Punto de inflexión

Una función   f(x)   tiene un punto de inflexión, cuando la recta tangente en ese punto atraviesa la gráfica de la función. Por tanto hay un cambio de curvatura de concava a convexa o viceversa.


pto_inflexion


En el punto   (0, 2)   la función   f(x)   tiene un punto de inflexión ya que la recta tangente en ese punto atraviesa a la gráfica.


Ejemplo de concavidad y convexidad de una función

Determinar la concavidad , convexidad y


puntos de inflexión de la siguiente función:


     f(x) = x3 - 3x + 2



•   (-∞ , 0):   la función es convexa.


•   (0 , ∞):   la función es cóncava.


ejemplo

izquierda
         arriba
derecha