Función inversa
Sea una función f de dominio Dom(f); si f es inyectiva, entonces f tiene función inversa, que expresamos por f -1, y que está definida por:
Observa que para la función inversa se cumple que:
Dom(f -1) = Im(f) y que Im(f -1) = Dom(f)
Una función y su inversa verifican las siguientes propiedades:
• f[f -1(x)] = f -1[f(x)] = x
• Las gráficas de f y de f -1, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
Hallar la inversa de una función f(x)
Para hallar la inversa de una función f debemos seguir los siguientes pasos:
1. Ver si f es inyectiva.
2. Despejar la variable x de la ecuación: y = f(x)
3. Intercambiar las variables x e y para obtener f -1(x)
Ejemplo de hallar la inversa de una función
Dada una función f, vamos a hallar su función inversa:
a) f(x) = 3x + 2
Primero vemos si es inyectiva:
f(x1) = f(x2) ⇒ 3x1 + 2= 3x2 + 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
Luego sí es inyectiva.
En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación: y = f(x)
Por último, intercambiamos las variables:
b) f(x) = x2
Esta función no es inyectiva: f(-2) = f(2) = 4 , dos elementos distintos tienen la misma imagen.
Para valores reales positivos de la función podemos obtener su inversa:
f(x) = y ⇔ x2 = y ⇔ x = +√y ⇔ y = +√x ⇔ f -1(x) = +√x
La función inversa presenta restricciones:
las funciones f(x) = x2 y f(x) = +√x son funciones inversa sólo si las consideramos en el intervalo [0 , ∞)
Si no hubiésemos puesto la condición x > 0 tendríamos que la inversa de f(x) = x2 sería f -1 = ± √x, que no es función.
Imagen inversa de un número
Para todo y0 del recorrido de la función f (Im(f)), su imagen inversa f -1(y0), es el conjunto de los números x del dominio de f (Dom(f)) que se transforman en y0.
f -1(y0) = { x ∈ R / f(x) = y0 }
Para hallar f -1(y0) se resuelve la ecuación f(x) = y0.
También podemos determinar f -1(y0) gráficamente trazando la recta horizontal y = y0. Las abscisas correspondientes a los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de f(x) forman la imagen inversa de y0.
Ejemplo de imagen inversa de un número
Vamos a calcular la imagen inversa de 4 y 1 de la función: f(x) = x2
f -1(4) = { x ∈ R / f(x) = 4 } = { x ∈ R / x2 = 4 } = { -2 , 2}
f -1(1) = { x ∈ R / f(x) = 1 } = { x ∈ R / x2 = 1 } = { -1 , 1}
Para hallar las imágenes inversas trazamos las rectas: y = 4 , y = 1
La abscisas correspondientes a los puntos de corte de ambas rectas con la gráfica:
f(x) = x2 forman la imagen inversa de 4 y 1, respectivamente.