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Función inversa

Sea una función f de dominio Dom(f); si f es inyectiva, entonces f tiene función inversa, que expresamos por  f -1, y que está definida por:


funcion_inversa


Observa que para la función inversa se cumple que:

               Dom(f -1) = Im(f)     y  que    Im(f -1) = Dom(f)


inversa

Una función y su inversa verifican las siguientes propiedades:

•   f[f -1(x)] = f -1[f(x)] = x

•   Las gráficas de f y de f -1, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.



Hallar la inversa de una función f(x)

Para hallar la inversa de una función f debemos seguir los siguientes pasos:


1.   Ver si f es inyectiva.

2.   Despejar la variable  x  de la ecuación:  y = f(x)

3.   Intercambiar las variables   x   e   y   para obtener   f -1(x)

Ejemplo de hallar la inversa de una función

Dada una función f, vamos a hallar su función inversa:


a)   f(x) = 3x + 2


Primero vemos si es inyectiva:


               f(x1) = f(x2)     ⇒     3x1 + 2= 3x2 + 2     ⇒     3x1 = 3x2     ⇒     x1 = x2


Luego sí es inyectiva.


En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación:   y = f(x)

               solucion_ejemplo

Por último, intercambiamos las variables:


               solucion_ejemplo



grafica_inversa



b)   f(x) = x2


Esta función no es inyectiva:     f(-2) = f(2) = 4  , dos elementos distintos tienen la misma imagen.


Para valores reales positivos de la función podemos obtener su inversa:


               f(x) = y     ⇔     x2 = y     ⇔     x = +√y     ⇔     y = +√x     ⇔     f -1(x) = +√x



               funcion_inversa


               La función inversa presenta restricciones:


               las funciones f(x) = x2 y f(x) = +√x son funciones inversa sólo si las consideramos en el intervalo [0 , ∞)



funcion_inversa


Si no hubiésemos puesto la condición  x > 0  tendríamos que la inversa de f(x) = x2  sería f -1 = ± √x, que no es función.

Imagen inversa de un número

Para todo y0 del recorrido de la función f (Im(f)), su imagen inversa f -1(y0), es el conjunto de los números x del dominio de f (Dom(f)) que se transforman en y0.


               f -1(y0) = { x ∈ R /   f(x) = y0 }


Para hallar  f -1(y0)  se resuelve la ecuación  f(x) = y0.


También podemos determinar  f -1(y0)  gráficamente trazando la recta horizontal  y = y0.  Las abscisas correspondientes a los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de f(x) forman la imagen inversa de y0.


Ejemplo de imagen inversa de un número

Vamos a calcular la imagen inversa de 4 y 1 de la función:   f(x) = x2


f -1(4) = { x ∈ R /  f(x) = 4 } = { x ∈ R /  x2 = 4 } = { -2 , 2}


f -1(1) = { x ∈ R /  f(x) = 1 } = { x ∈ R /  x2 = 1 } = { -1 , 1}


Para hallar las imágenes inversas trazamos las rectas:   y = 4   ,   y = 1


La abscisas correspondientes a los puntos de corte de ambas rectas con la gráfica:


f(x) = x2 forman la imagen inversa de 4 y 1, respectivamente.


                imagen_inversa

izquierda
         arriba