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Resolución analítica del problema de programación lineal

  1. Se representa gráficamente la región factible.
  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.
  3. Como el máximo o el mínimo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor óptimo.
  4. Si se trata de maximizar elegiremos el vértice que hace mayor la función objetivo y si se trata de minimizar elegiremos el vértice que hace menor la función objetivo.

Al aplicar este método pueden darse las siguientes posibilidades según la "forma" que tenga la región factible:

Ejemplos de problemas de programación lineal resueltos mediante el método analítico

1.- Maximiza y minimiza la función

con las siguientes restricciones:

Seguimos los pasos del método:

  1. Se representa gráficamente la región factible



  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.



  3. Como el máximo o el mínimo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor óptimo.



  4. Si se trata de maximizar elegiremos el vértice que hace mayor la función objetivo y si se trata de minimizar elegiremos el vértice que hace menor la función objetivo.

    El máximo de F(x,y) se alcanza en A = (0,5) y el mínimo en B = (0 , 3).



2.- Maximiza y minimiza la función

con las siguientes restricciones:

Seguimos los pasos del método:

  1. Se representa gráficamente la región factible



  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.



  3. Como el máximo o el mínimo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor óptimo.



  4. Si se trata de maximizar elegiremos el vértice que hace mayor la función objetivo y si se trata de minimizar elegiremos el vértice que hace menor la función objetivo.

    El máximo de G(x,y) se alcanza en A = (0,5) y el mínimo en C = (3 , 2).



3. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas:

La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25€.

La de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata.

Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Empezamos por traducir al lenguaje de la programación lineal el enunciado del problema.

Queremos maximizar el beneficio, es decir, la función que nos permite calcular el dinero obtenido de la venta de las joyas. Dicha función es
F(x,y) = 25 x + 30 y

Las restricciones del problema son:

Teniendo todo esto en cuenta podemos pasar a la resolución del problema tal como hacíamos antes:

  1. Se representa gráficamente la región factible



  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.



  3. Como el máximo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene dicho máximo



  4. El vértice que maximiza la función es el vértice C. Por tanto habría que fabricar 300 joyas de cada uno de los tipos y se venderían por 16500 €.

 

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