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Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:


sistema_inecuaciones


Conjunto de soluciones de la primera inecuación:


            2x - y = - 3     ⇔     y = 2x + 3


            Puntos de corte de la recta con los ejes:


            x = 0     ⇒     y = 2x + 3 = 3     ⇒     A = (0 , 3)


            y = 0     ⇒     0 = 2x + 3     ⇒     x = - 3/2     ⇒     B = (- 3/2 , 0)


            Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


            (0 , 0)     ,     2x - y ≥ - 3     ⇒     0 ≥ - 3


            tabla_valores


solucion_inecuacion


Conjunto de soluciones de la segunda inecuación:


            x + y = 2     y = 2 - x


            Puntos de corte de la recta con los ejes:


            x = 0     ⇒     y = 2 - x = 2     ⇒     C = (0 , 2)


            y = 0     ⇒     0 = 2 - x     ⇒     x = 2     ⇒     D = (2 , 0)


            Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


            (0, 0)     ,     x + y < 2     ⇒     0 < 2


            tabla_valores


solucion_inecuacion


El conjunto de soluciones del sistema estará formado por aquellos valores de x que cumplan ambas inecuaciones, por tanto, la solución será la intersección de ambos semiplanos:


solucion_sistema

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:


sistema_inecuaciones


Aplicamos m.c.m.(2 , 3) = 6 en ambas inecuaciones:


            sistema_inecuaciones


            sistema_inecuaciones


            sistema_inecuaciones


Conjunto de soluciones de la primera inecuación:


            - 5x + 7y = 6     ⇔     7y = 6 + 5x     ⇔     y = 6/7 + 5/7x


            Puntos de corte de la recta con los ejes:


            x = 0     ⇒     y = 6/7 + 5/7x = 6/7     ⇒     A = (0 , 6/7)


            y = 0     ⇒     0 = 6/7 + 5/7x     ⇒     x = - 6/5     ⇒     B = (-6/5 , 0)


            Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


            (0 , 0)     ,     - 5x + 7y ≥ 6     ⇒     0 ≥ 6     ¡no es cierto!


            Probamos con otro punto del otro lado de la recta, por ejemplo:


            (- 2 , 2)     ,     - 5x + 7y ≥ 6     ⇒     10 + 14 ≥ 6     24 ≥ 6


            tabla_valores


Solucion_inecuacion


Conjunto de soluciones de la segunda inecuación:


            2x + 11y = - 14     ⇔     11y = - 14 - 2x     ⇔     y = - (14/11) - (2/11)x


            Puntos de corte de la recta con los ejes:


            x = 0     ⇒     y = - 14/11     ⇒     C = (0 , - 14/11)


            y = 0     ⇒     0 = - (14/11) - (2/11)x     ⇒     x = - 7     ⇒     D = ( - 7 , 0)


            Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


            (0 , 0)     ,     2x + 11y ≥ - 14     ⇒     0 ≥ - 14


            tabla_valores


Solucion_inecuacion


El conjunto de soluciones del sistema estará formado por aquellos valores de x que cumplan ambas inecuaciones, por tanto, la solución será la intersección de ambos semiplanos:


Solucion_sistema

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:


sistema_inecuaciones


Conjunto de soluciones de la primera inecuación:


            x + y = 1     ⇔     y = 1 - x


            Puntos de corte de la recta con los ejes:


            x = 0     ⇒     y = 1 - x = 1     ⇒     A = (0 , 1)


            y = 0     ⇒     0 = 1 - x     ⇒     x = 1     ⇒     B = (1 , 0)


            Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


            (0 , 0)     ,     x + y ≥ 1     ⇒     0 ≥ 1     ¡no es cierto!


            Probamos con otro punto del otro lado de la recta, por ejemplo:


            (2 , 2)     ,     x + y ≥ 1     ⇒     4 ≥ 1


            tabla_valores


Solucion_inecuacion


Conjunto de soluciones de la primera inecuación:


            y - 2x = 3     ⇔     y = 3 + 2x


            Puntos de corte de la recta con los ejes:


            x = 0     ⇒     y = 3 + 2x = 3     ⇒     C = (0 , 3)


            y = 0     ⇒     0 = 3 + 2x     ⇒     x = - 3/2     ⇒     D = (- 3/2 , 0)


            Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


            (0 , 0)     ,     y - 2x ≥ 3     ⇒     0 ≥ 3     ¡no es cierto!


            Probamos con otro punto, por ejemplo:


            (- 2 , 2)     ,     y - 2x ≥ 3     ⇒     6 ≥ 3


            tabla_valores


Solucion_inecuacion


Conjunto de soluciones de la primera inecuación:


            y = 5


            La recta sólo corta al eje de abcisas:  para cualquier valor de x siempre se tiene y = 5.


            Por ejemplo,   si  x = 0      ⇒     (0 , 5)


            Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


            (0 , 0)     ,     y ≤ 5     ⇒     0 ≤ 5


            tabla_valores


Solucion_inecuacion


El conjunto de soluciones del sistema estará formado por aquellos valores de x que cumplan las tres inecuaciones, por tanto, la solución será la intersección de los tres semiplanos:


Solucion_sistema