Aplicación de las matrices: Movimientos en el plano

Sea P(x,y) un punto cualquiera del plano. Sea P(x',y') su transformado.

Traslación con vector guía (a,b)

Expresión analítica	Expresión matricial	Gráfica

Simetría respecto del eje X

Expresión analítica	Expresión matricial	Gráfica

Simetría respecto del eje Y

Expresión analítica	Expresión matricial	Gráfica

Simetría respecto del origen

Expresión analítica	Expresión matricial	Gráfica

Giro de centro    O    y ángulo    α

Expresión analítica	Expresión matricial	Gráfica

Homotecia de centro    O    y razón    k ≠ O

Expresión analítica	Expresión matricial	Gráfica

Las matrices asociadas a los movimientos (salvo la traslación) son las siguientes:

y son todas inversibles.

Observamos además que si consideramos dos movimientos cualesquiera entre los anteriores, la composición de dichos movimientos tiene como matriz asociada al producto de las matrices asociadas a los movimientos. En otras palabras, si consideramos dos movimientos m₁ y m₂ con matrices asociadas M₁ y M₂, la composición de los mismos, que es m₁ o m₂, tiene como matriz asociada a la matriz M₁ · M₂ .

Ejemplo de movimientos en el plano

El rectángulo de la figura tiene por vértices A = ( 2, 1 ) B = (5 , 1) C = ( 5, 3 ) D = ( 2, 3 ). Estas coordenadas pueden escribirse matricialmente como:

¿Cómo se modifica el rectángulo inicial al aplicarle las transformaciones asociadas a las siguientes matrices?

Se modifica como vemos a continuación:

Para la simetría respecto al eje X, que tiene matriz asociada S_x

de manera que el rectángulo obtenido al aplicar S_x al rectángulo inicial tiene vértices

A₁ = ( 2 , -1 ) , B₁ = ( 5 , -1 ) , C₁ = ( 5 , -3 ) , D₁ = ( 2 , -3 ).

Para la simetría respecto al eje Y, que tiene matriz asociada S_y

de manera que el rectángulo obtenido al aplicar S_y al rectángulo inicial tiene vértices

A₂ = ( -2 , 1 ) , B₂ = ( -5 , 1 ) , C₂ = ( -5 , 3 ) , D₂ = ( -2 , 3 ).

Para la simetría respecto al origen, que tiene matriz asociada S₀

de manera que el rectángulo obtenido al aplicar S₀ al rectángulo inicial tiene vértices

A₃ = ( -2 , -1 ) , B₃ = ( -5 , -1 ) , C₃ = ( -5 , -3 ) , D₃ = ( -2 , -3 ).

Para la simetría respecto al origen, que tiene matriz asociada S₀

de manera que el rectángulo obtenido al aplicar S₀ al rectángulo inicial tiene vértices

A₃ = ( -2 , -1 ) , B₃ = ( -5 , -1 ) , C₃ = ( -5 , -3 ) , D₃ = ( -2 , -3 ).

Para el giro de 45 grados que tiene, que tiene matriz asociada S_π/4

de manera que el rectángulo obtenido al aplicar S_π/4 al rectángulo inicial tiene vértices