Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones logarítmicas

De la segunda ecuación tenemos que:

x = 10y

Sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación:

(10y)² - y² = 11

100y² - y² = 11

99y² = 11

Por lo tanto tenemos que:

Despejamos   x   en la primera ecuación:

x = 8 + y

Sustituimos   x   en la segunda ecuación:

(8 + y)y = 128

8y + y² = 128

y² + 8y - 128 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

y₂ = - 16 no se puede sustituir puesto que no existe   log (- 16).

Para   y₁ = 8   tenemos que:

x = 8 + 8 = 16

Por tanto la solución al sistema es:

x = 16

y = 8

Usamos el método de reducción:

Tenemos por lo tanto que:

3·log₂ x = 6

log₂ x = 2

Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:

x = 2²

x = 4

Sustituimos el valor de   x   en la primera ecuación:

log₂ 4 + log₂ y = 5

2 + log₂ y = 5

log₂ y = 3

y = 2³

y = 8

Usamos el método de reducción:

Resolvemos la ecuación logarítmica:

5·log x = 10

log x = 2

Aplicamos la definición de logarítmo:

x = 10²

x = 100

Sustituimos el valor de   x   en la segunda ecuación:

log 100 + log y = 1

2 + log y = 1

log y = - 1

y = 10^-1

y = 1/10

De la primera ecuación tenemos que:

y = 81 - 18x + x²

De la segunda ecuación tenemos que:

y = x² - 9

Utilizando el método de igualación tenemos que:

81 - 18x + x² = x² - 9

- 18x = - 90

x = 5

Por lo tanto tenemos que:

y = 5² - 9 = 25 - 9

y = 16

De la primera ecuación tenemos que:

x = 5³·y

Sustituimos el valor de   x   en la segunda ecuación:

(5³·y)³·y² = 2⁴

5⁶·y³·y² = 2⁴

5⁹·y⁵ = 2⁴

Sustituyendo el valor de   y   tenemos que:

De la segunda ecuación tenemos que:

x = 11 - y

Sustituyendo   y   en la primera ecuación:

(11 - y)² - y² = 33

121 - 22y + y² - y² = 33

121 - 22y = 33

- 22y = - 88

y = 4

Sustituimos el valor de   y :

x = 11 - 4

x = 7