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Ejercicios resueltos de inecuaciones con valor absoluto

El conjunto solución de una inecuación con valor absoluto viene dado por las siguientes propiedades:




•   |x| < a  se expresa como:               

    - a < x  <  a

•   |x| > a  se expresa como:

    x < - a      ó      x > a



•   |x| ≤ a  se expresa como:               

    - a  ≤ x  ≤  a

•   |x| ≥ a  se expresa como:

    x ≤ - a      ó      x ≥ a


Expresión con valor absoluto
a > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto
|x| = a La distancia de x al origen es a
x = ± a
|x| < a La distancia de x al origen es estrictamente menor que a
- a < x < a
|x| ≤ a La distancia de x al origen es menor o igual que a
- a ≤ x ≤ a
|x| > a La distancia de x al origen es estrictamente mayor que a
x >a    ó    x < - a
|x| ≥ a La distancia de x al origen es mayor o igual que a
x ≥ a     ó    x ≤ - a
   
0 < |x| < a La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayor que 0
0 < |x|   ⇔   x≠ 0
|x| < a   ⇔  - a < x < a


Por tanto:
0 < |x| <a  ⇔   x≠ 0   y  - a < x < a

e < |x| < a
(e > 0 , e < a)

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayor que e
e < |x|   ⇔  x > e    ó    x < - e
|x| < a  ⇔  - a < x < a


Por tanto:
0 < |x| < a  ⇔  
- a < x < -e
  ó   e < x < a

Expresión con valor absoluto
d > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto
|x - c| = d La distancia entre x y c es d
x - c = ± d   ⇔  
x = d + c
   ó    x = - d +c  
|x - c| < d La distancia entre x y c es estrictamente menor que d
- d < x - c < d  ⇔ 
- d + c < x < d + c
|x - c| ≤ d La distancia entre x y c es menor o igual que d
- d ≤ x - c ≤ d  ⇔ 
- d + c ≤ x ≤ d + c
|x - c| > d La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d
x - c > d     ó    x - c < - d

Por tanto:
x > c + d    ó    x < c - d
|x - c| ≥ d La distancia entre x y c es mayor o igual que d
x - c ≥ d     ó    x - c ≤ - d

Por tanto:
x ≥ c + d    ó    x ≤ c - d
   
0 < |x - c| < d La distancia entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que 0
0 < |x - c|   ⇔   x - c ≠ 0  ⇔  x ≠c
|x - c| < d   ⇔  - d + c < x < d + c


Por tanto:
0 < |x - c| < d   ⇔ 
x ≠c   
y  - d + c < x < d + c

e < |x- c| < d
(e > 0 , e < d)

La distancia de x al origen es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que e
e < |x - c|   ⇔  x > c + e  ó  x < c - e
|x| < d   ⇔  - d < x < d


Por tanto:
0 < |x| < d   ⇔  
c - d < x < c - e
 ó  c + e < x < c + d

2)   Resuelve las siguientes inecuaciones:


1)      |x| > 4


x < - 4    ó    x > 4


x ∈ (-∞ , - 4) ∪ (4 , ∞)



2)      |x| < 4


- 4 < x < 4     ⇔     x ∈ (- 4 , 4)



3)      |x| ≤ 4


- 4 ≤ x ≤ 4     ⇔     x ∈ [- 4 , 4]

3)   Resuelve las siguientes inecuaciones:


1)   |x - 3| > 1


x - 3 < - 1     ó     x - 3 > 1


x - 3 < - 1     ⇔     x < - 1 + 3     ⇔     x < 2


x - 3 > 1     ⇔     x > 1 + 3     ⇔     x > 4


x ∈ (-∞ , 2) ∪ (4 , ∞)


2)   |x - 3| < 1


- 1 < x - 3 < 1


- 1 + 3 < x < 1 + 3


2 < x < 4


x ∈ (2 ,4)


3)   |x - 3| ≤ 1


- 1 ≤ x - 3 ≤ 1


- 1 + 3 ≤ x ≤ 1 + 3


2 ≤ x ≤ 4


x ∈ [2 ,4]

4)   Resuelve las siguientes inecuaciones:


1)   |x - 3| < 2


- 2 < x - 3 < 2


- 2 + 3 < x < 2 + 3


1 < x < 5


x ∈ (1 , 5)



2)   |4x + 1| > 0


Siempre se tiene que:     |x| ≥ 0   x ∈ R


Como la desigualdad del enunciado es esctricta, el conjunto de soluciones vendrá dado por:


R - { x ∈ R |    |4x + 1| = 0 }


|4x + 1| = 0     ⇔     4x + 1 = 0     ⇔     x = - 1/4


Luego   |4x + 1| > 0     ⇔     x ∈ R - { -1/4 }



3)   |x - 1| < 5


Los valores reales que verifican dicha expresión son:


      |x - 1| < 5      ⇔      - 5 < x - 1 < 5


Por un lado tenemos:


      - 5 < x - 1   ⇒   - 5 + 1 < x   ⇒   - 4 < x


Por otro:


      x - 1 < 5  ⇒   x < 5 + 1   ⇒   x < 6 


Por tanto, como - 4 < x < 6  , el conjunto solución es:


            S = (-4 , 6)



4)     |3x + 1| ≥ 5


Los valores reales que verifican dicha expresión son:


      |3x + 1| ≥ 5   ⇔   3x + 1 ≤ - 5   o   3x + 1 ≥ 5


Por un lado tenemos:


      3x + 1 ≤ - 5   ⇒   3x ≤ - 6   ⇒   x ≤ - 2   ⇒   x ∈ (-∞ , - 2]


Por otro:


      3x - 1 ≥ 5   ⇒   3x ≥ 6   ⇒   x ≥ 2   ⇒   x ∈ [2 , ∞)


Por tanto, el conjunto solución es el intervalo:


            S = (-∞ , - 2] ∪ [2 , ∞)


5)   Resuelve las siguientes inecuaciones:


1)   3|2 - x| - 15 ≥ 0


3|2 - x| ≥ 15


|2 - x| ≥ 5


2 - x ≤ - 5     ó     2 - x ≥ 5



2 - x ≤ - 5     ⇔     - x ≤ - 5 - 2     ⇔     - x ≤ - 7     x ≥ 7


2 - x ≥ 5     ⇔     - x ≥ 5 - 2     ⇔     - x ≥ 3     x ≤ - 3


La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda.


x ∈ (-∞ , - 3] ∪ [7 , ∞)



2)   |x - 1| ≤ 5x - 2


- (5x - 2)  ≤  x - 1  ≤  5x - 2


- 5x + 2  ≤  x - 1  ≤  5x - 2



a)   - 5x + 2 ≤ x - 1     ⇔     2 + 1 ≤ x + 5x     ⇔     3 ≤ 6x     ⇔     1/2 ≤ x


b)   x - 1 ≤ 5x - 2     ⇔     - 1 + 2 ≤ 5x - x     ⇔     1 ≤ 4x     ⇔     1/4 ≤ x


La solución será el conjunto de valores de x que cumplan a) y b), por tanto, es la intersección de los intervalos.


x ∈ [1/2 , ∞) [1/4 , ∞) = [1/2 , ∞)

6)   Resuelve la siguiente inecuación:

      4 + |x| ≥ 3x


4 + |x| ≥ 3x


|x| ≥ 3x - 4


x ≤ - (3x - 4)    ó    x ≥ 3x - 4



x ≤ - (3x - 4)     ⇔     x ≤ - 3x + 4     ⇔     4x ≤ 4     ⇔     x ≤ 1


x ≥ 3x - 4     ⇔     - 2x ≥ - 4     ⇔     2x ≤ 4     ⇔     x ≤ 2


La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda.


x ∈ (-∞ , 1] (-∞ , 2] = (-∞ , 2]

7)   Resuelve la siguiente inecuación:

      |x + 1| ≥ |1 - 2x|


|x + 1| ≥ |1 - 2x|


(|x + 1|)2 ≥ (|1 - 2x|)2


(x + 1)2 ≥ (1 - 2x)2


x2 + 2x + 1 ≥ 1 - 4x + 4x2


0 ≥ 3x2 - 6x


0 ≥ 3x(x - 2)


Tenemos:

3x = 0     ⇔     x = 0


x - 2 = 0     ⇔     x = 2


•  (-∞ , 0):     x = - 1     ⇒     3x = - 3 < 0


                                    ⇒     x - 2 = - 1 - 2 < 0


•  (0, 2):     x = 1     ⇒     3x = 3 > 0


                               ⇒     x - 2 = 1 - 2 < 0


•  (2, ∞):     x = 3     ⇒     3x = 9 > 0


                                ⇒     x - 2 = 3 - 2 > 0

También se puede hacer estudiando el signo del numerador y del denominador y después del cociente entre ambos.

(- ∞ , 0) (0 , 2) (2, ∞)
3x - + +
x - 2 - - +
3x(x - 2) + - +

El conjunto de soluciones es:     [0 , 2]


Incluimos los valores  x = 0  y  x = 2 , puesto que la desigualdad requiere que el producto sea menor o igual que 0.

8)   Resuelve la siguiente inecuación:

inec_valorAbsoluto




inec_valorAbsoluto


5x + 7 = 0     ⇔     x = - 7/5


x + 2 = 0     ⇔     x = - 2


•  (-∞ , - 2):    x = - 3     ⇒     5x + 7 = - 15 + 7 < 0


                                      ⇒     x + 2 = - 3 + 2 < 0


•  (-2 , -7/5):    x = -3/2     ⇒     5x + 7 = 5(-3/2) + 7 < 0


                                         ⇒     x + 2 = -3/2 + 2 > 0


•  (-7/5, ∞):    x = 0     ⇒     5x + 7 = 7 > 0


                                   ⇒     x + 2 = 2 > 0

También se puede hacer estudiando el signo del numerador y del denominador y después del cociente entre ambos.

(- ∞ , - 2) (-2 , -7/5) (-7/5, ∞)
5x + 7 - - +
x + 2 - + +
+ - +

Para que el cociente sea negativo:     x ∈ (-2 , -7/5)



inec_valorAbsoluto


- 3x - 9 = 0     ⇔     - 3x = 9     ⇔     x = - 3


x + 2 = 0     ⇔     x = - 2


•  (-∞ , - 3):    x = -4     ⇒     - 3x - 9 = - 3(-4) - 9 > 0


                                      ⇒     x + 2 = - 4 + 2< 0


•  (- 3 , - 2):    x = - 5/2     ⇒     - 3x - 9 = - 3(-5/2) - 9 < 0


                                         ⇒     x + 2 = - 5/2 + 2 < 0


•  (- 2, ∞):    x = 0     ⇒     - 3x - 9 = - 9< 0


                                 ⇒     x + 2 = 2 > 0

También se puede hacer estudiando el signo del numerador y del denominador y después del cociente entre ambos.

(- ∞ , - 3) (-3 , -2) (-2, ∞)
- 3x - 9 + - -
x + 2 - - +
- + -

Para que el cociente sea positivo:     x ∈ (- 3 , - 2)



La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a) ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones.


x ∈ (- 3 , - 2) ∪ (-2 , -7/5)

9)   Resuelve la siguiente inecuación:     |x2 - 1| < 3


|x2 - 1| < 3

- 3 < x2 - 1 < 3

Resolvemos las dos inecuaciones por separado:

a)   x2 - 1 > -3      ⇔      x2 + 2 > 0      ⇒      x > ± √-2

La inecuación no se puede factorizar, así que estudiamos el signo en todo R.

(-∞ , ∞):   damos un valor cualquiera en este intervalo, por ejemplo    x = 0     ⇒     x2 + 2 = 2 > 0

(- ∞, ∞)
+

El conjunto de soluciones es:     (-∞ , ∞)


b)   x2 - 1 < 3      ⇔      x2 - 4 < 0

    x2 - 4 = 0     ⇔     x = ± √4 = ± 2


Factorizamos la inecuación:     (x - 2)(x + 2) < 0


Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ , -2) , (-2 , 2) , (2 , ∞)


•  (-∞ , -2):   x = - 3     ⇒     (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 + 2) > 0


•  (-2 , 2):   x = 0     ⇒     (x - 2)(x + 2) = (- 2)(2) < 0


•  (2 , ∞):   x = 3     ⇒    (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) > 0

(- ∞, - 2) (- 2 , 2) (2 , ∞)
+ - +

El conjunto de soluciones es:     (-2 , 2)


La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas inecuaciones, es decir, será la intersección de los dos conjuntos.

S = (-∞ , ∞) ∩ (-2 , 2) = (-2 , 2)

10)   Resuelve la siguiente inecuación:     |x2 - 9| ≥ 7


|x2 - 9| ≥ 7


Tenemos dos opciones para resolver la inecuación:

a)    x2 - 9 ≤ - 7         ó         b)    x2 - 9 ≥ 7


Despejando obtenemos que:

a)    x2 - 2 ≤ 0           ó          b)    x2 - 16 ≥ 0



a)  x2 - 2 ≤ 0


x2 - 2 = 0     ⇔     x = ± √2


Factorizamos la inecuación:     (x - √2)(x + √2) ≤ 0


Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ , -√2) , (-√2 , √2) , (√2 , ∞)


•  (-∞ , -√2):   x = - 2     ⇒     (x - √2)(x + √2) = (- 2 - √2)(- 2 + √2) > 0


•  (-√2 , √2):   x = 0     ⇒     (x - √2)(x + √2) = (- √2)(√2) < 0


•  (√2 , ∞):   x = 2     ⇒     (x - √2)(x + √2) = (2 - √2)(2 + √2) > 0

(- ∞, - √2) (- √2 , √2) (√2 , ∞)
+ - +

El conjunto de soluciones es:     [-√2 , √2]



b)  x2 - 16 ≥ 0


x2 - 16 = 0     ⇔     x2 = 16     ⇔     x = ± 4


Factorizamos la inecuación:     (x - 4)(x + 4) ≥ 0


Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ , - 4) , (- 4 , 4) , (4 , ∞)


•  (-∞ , - 4):   x = - 5     ⇒     (x - 4)(x + 4) = (- 5 - 4)(- 5 + 4) > 0


•  (- 4 , 4):   x = 0     ⇒     (x - 4)(x + 4) = (- 4)(4) < 0


•  (4, ∞):   x = 5     ⇒     (x - 4)(x + 4) = (5 - 4)(5 + 4) > 0

(- ∞, - 4) (- 4 , 4) (4 , ∞)
+ - +

El conjunto de soluciones es:     (-∞ , - 4] ∪ [4 , ∞)


La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a) ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones.


x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√2 , √2] ∪ [4 , ∞)

11)   Resuelve la siguiente inecuación:     1 ≤ |x| ≤ 4


Resolvemos las dos inecuaciones por separado:

•   |x| ≥ 1      ⇔      x ≤ -1   ó   x ≥ 1      ⇔      x ∈ (-∞ , -1] ∪ [1 , +∞)

•   |x| ≤ 4      ⇔      - 4 ≤ x ≤ 4      ⇔      x ∈ [-4 , 4]

La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas desigualdades, es decir, será la intersección de los intervalos.

S = {(-∞ , -1] ∪ [1 , +∞)} ∩ [-4, 4] = [-4 , -1] ∪ [1 , 4]

12)   Resuelve la siguiente inecuación: