Ejercicios resueltos de inecuaciones de segundo grado

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:

x² - 5x + 6 > 0

      En primer lugar, factorizamos la inecuación hallando las raíces de la ecuación de segundo grado:   x² - 5x + 6 = 0

            

      Factorizamos la inecuación:

            x² - 5x + 6 > 0   ⇒   (x - 3)(x - 2) > 0

      En segundo lugar, estudiamos el signo que toma la inecuación en cada uno de los intervalos: (- ∞ , 2) , (2 , 3) , (3 , ∞)

      Para ver el signo en cada intervalo, sustituimos por un valor cualquiera de dicho intervalo:

            En el intervalo (- ∞, 2):   x = 0   ⇒   (x - 3)(x - 2) = (0 - 3)(0 - 2) = 6 > 0

            En el intervalo (2 , 3):    x = 2,5   ⇒   (x - 3)(x - 2) = (2,5 - 3)(2,5 - 2) = -0,25 < 0

            En el intervalo (3 , ∞):   x = 4   ⇒   (x - 3)(x - 2) = (4 - 3)(4 - 2) = 2 > 0

(- ∞, 2)	(2 , 3)	(3 , ∞)
+	-	+

      Buscamos los valores de x tales que (x - 3)(x - 2) > 0 , por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es:

            (-∞ , 2)∪(3 , ∞)

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:

x² - 6x + 8 > 0

x² - 6x + 8 = 0

x² - 6x + 8 > 0     ⇔     (x - 4)(x - 2) > 0

Estudiamos el signo en los intervalos:   (-∞ , 2) , (2 , 4) , (4 , ∞)

•  (-∞ , 2):   x = 0     ⇒     (x - 4)(x - 2) = (-4)(-2) = 8 > 0

•  (2 , 4):   x = 3     ⇒     (x - 4)(x - 2) = (-1)(1) = - 1 < 0

•  (4 , ∞):   x = 5     ⇒     (x - 4)(x - 2) = (1)(3) = 3 > 0

(- ∞, 2)	(2 , 4)	(4 , ∞)
+	-	+

El conjunto de soluciones es:     (- ∞, 2) ∪ (4 , ∞)

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:

7x² - 3x ≥ 0

2x² - 3x ≥ 0     ⇔     x(7x - 3) ≥ 0

x(7x - 3) = 0     ⇔     x = 0    o    x = 3/7

Estudiamos el signo en los intervalos:   (-∞ , 0) , (0 , 3/7) , (3/7 , ∞)

•  (-∞ , 0):   x = -1     ⇒     x(7x - 3) = (-1)(7·(-1) - 3) = 10 > 0

•  (0 , 3/7):   x = 1/4     ⇒     x(7x - 3) = (1/4)(7·(1/4) - 3) = (1/4)(-5/4) = -5/16 < 0

•  (3/7 , ∞):   x = 1     ⇒     x(7x - 3) = 1(7·1 - 3) = 4 > 0

(-∞ , 0)	(0 , 3/7)	(3/7 , ∞)
+	-	+

El conjunto de soluciones es:     (-∞ , 0] ∪ [3/7 , ∞)

Se incluyen los valores   x = 0   y   x = 3/7,  que hacen que 7x² - 3x = 0.

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:

x² + 2x + 10 < 0

x² + 2x + 10 = 0

Esta ecuación no tiene soluciones reales, no corta al eje de abcisas.

Por tanto, siempre estará por encima o por debajo del mismo, es decir, siempre será, o bien positiva, o negativa, para cualquier valor real.

x = 0     ⇒     x² + 2x + 10 = 10 > 0

Para cualquier valor real la función es positiva, está por encima del eje de abcisas.

La inecuación no tiene solución.

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:

- x² - 2x + 3 > 0

- x² - 2x + 3 = 0

- x² - 2x + 3 > 0     ⇔     (x + 3)(x - 1) > 0

Estudiamos el signo en los intervalos:   (-∞ , -3) , (-3 , 1) , (1 , ∞)

•  (-∞ , -3):   x = -4     ⇒     - x² - 2x + 3 = -5 < 0

•  (-3 , 1):   x = 0     ⇒     - x² - 2x + 3 = 3 > 0

•  (1 , ∞):   x = 2     ⇒     - x² - 2x + 3 = -5 < 0

(-∞ , -3)	(-3 , 1)	(1 , ∞)
-	+	-

El conjunto de soluciones es:    (-3 , 1)

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:

4x² + 12x + 9 ≥ 0

4x² + 12x + 9 = 0

;

4x² + 12x + 9 ≥ 0     ⇔     4(x + 3/2)(x + 3/2) = 4(x + 3/2)² ≥ 0

Estudiamos el signo en los intervalos:   (-∞ , -3/2) ,(-3/2 , ∞)

•  (-∞ , -3/2):   x = -2     ⇒     4x² + 12x + 9 = 4(-2)² + 12(-2) + 9 = 1 > 0

•  (-3/2 , ∞):   x = 0     ⇒     4x² + 12x + 9 = 9 > 0

(-∞ , -3/2)	(-3/2 , ∞)
+	+

El conjunto de soluciones es:    (-∞ , - 3/2] ∪ [-3/2 , ∞) = R

Se incluye el valor   x = -3/2 ,  que hace que 4x² + 12x + 9 = 0.

(x + 1)² + 6x + 2 ≥ 2(x + 3)(x - 2) + 4x

      Operamos para suprimir los paréntesis:

            x² + 2x + 1 + 6x + 2 ≥ 2x² - 4x + 6x - 12 + 4x

      Transponemos los términos:

            x² + 2x + 1 + 6x + 2 - 2x² + 4x - 6x + 12 - 4x ≥ 0

      Reducimos los términos semejantes:

            - x² + 2x + 15 ≥ 0

      Cambiamos de signo la inecuación, y por tanto, cambiamos de sentido la desigualdad:

            x² - 2x - 15 ≤ 0

      Resolvemos la ecuación de segundo grado:   x² - 2x - 15 = 0

          

      Factorizamos la inecuación:

            x² - 2x - 15 ≤ 0   ⇒   (x - 5)(x + 3) ≤ 0

      Estudiamos el signo que toma la inecuación en cada uno de los intervalos: (- ∞ , - 3) , (- 3 , 5) , (5 , ∞)

      Para ver el signo en cada intervalo, sustituimos por un valor cualquiera de dicho intervalo:

            En el intervalo (- ∞ , - 3):   x = - 4   ⇒   (x - 5)(x + 3) = (- 4 - 5)(- 4 + 3) = 9 > 0

            En el intervalo (- 3 , 5):    x = 0   ⇒   (x - 5)(x + 3) = (0 - 5)(0 + 3) = - 15 < 0

            En el intervalo (5 , ∞):   x = 6   ⇒   (x - 5)(x + 3) = (6 - 5)(6 + 3) = 9 > 0

(- ∞, - 3)	(- 3 , 5)	(5 , ∞)
+	-	+

      Buscamos los valores de x tales que  (x - 5)(x + 3) ≤ 0 , por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es:

            [-3 , 5]

      Al ser  (x - 5)(x + 3) ≤ 0  también se incluyen los valores -3 y -5 que hacen que (x - 5)(x + 3) = 0.