calculo.cc

Ejercicios resueltos de inecuaciones racionales

Resuelve la siguiente inecuación racional:


inec_racional_1


El numerador siempre es positivo, por tanto, para que el cociente sea negativo como indica la desigualdad (< 0) el denominador tiene que ser negativo.


2x - 4 = 0     ⇔     2x = 4     ⇔     x = 2


Estudiamos el signo del denominador en los intervalos:    (-∞ , 2) , (2 , ∞)


•  (-∞ , 2):   x = 0     ⇒     2x - 4 = - 4 < 0


•  (2 , ∞):   x = 3     ⇒     2x - 4 = 2·3 - 4 = 2 > 0

(- ∞ , 2) (2 , ∞)
2x -4 - +
- +

El conjunto de soluciones es:    (-∞ , 2)

Resuelve la siguiente inecuación racional:


inec_racional_2


El numerador siempre es negativo, por tanto, para que el cociente sea positivo como indica la desigualdad (> 0) el denominador tiene que ser negativo también.


3x - 5 = 0     ⇔     3x = 5     ⇔     x = 5/3


Estudiamos el signo del denominador en los intervalos:     (-∞ , 5/3) , (5/3 , ∞)


•  (-∞ , 5/3):  x = 0     ⇒     3x - 5 = - 5 < 0


•  (5/3 , ∞):  x = 2     ⇒     3x - 5 = 3·2 - 5 = 1 > 0

(- ∞ , 5/3) (5/3 , ∞)
- 3 - -
3x - 5 - +
+ -

El conjunto de soluciones es:     (-∞ , 5/3)

Resuelve la siguiente inecuación racional:


inec_racional_3


inec_racional


inec_racional


Calculamos las raíces del numerador y del denominador:


            x - 4 = 0     ⇔     x = 4


            x + 2 = 0     ⇔     x = - 2


Estudiamos los signos en los intervalos:     (-∞ , -2) , (-2 , 4) , (4 , ∞)


•  (-∞ , -2):     x = - 3     ⇒     x - 4 = - 3 - 4 = - 7 < 0


                                      ⇒     x + 2 = - 3 + 2 = - 1 < 0


•  (-2 , 4):     x = 0     ⇒     x - 4 = 0 - 4 = - 4 < 0


                                 ⇒     x + 2 = 0 + 2 = 2 > 0


•  (4 , ∞):     x = 5     ⇒     x - 4 = 5 - 4 = 1 > 0


                                ⇒     x + 2 = 5 + 2 = 7 > 0

(- ∞ , - 2) (- 2 , 4) (4 , ∞)
x - 4 - - +
x + 2 - + +
+ - +

El conjunto de soluciones es:     (-∞ , -2) ∪ [4 , ∞)


Incluimos el valor   x = 4 ,   puesto que la desigualdad requiere que el cociente sea mayor o igual que 0.


No incluimos el valor   x = - 2 ,   puesto que el cociente no está definido en - 2.

Resuelve la siguiente inecuación racional:


inec_racional


inec_racional


inec_racional


Calculamos las raíces del numerador y del denominador:


            2x = 0     ⇔     x = 0


            1 - x = 0     ⇔     x = 1


Estudiamos los signos en los intervalos:     (-∞ , 0) , (0 , 1) , (1 , ∞)


•  (-∞ , 0):     x = - 1     ⇒     2x = 2·(-1) = - 2 < 0


                                     ⇒     1 - x = 1 - (-1) = 2 > 0


•  (0 , 1):     x = 1/2     ⇒     2x = 2·(1/2) = 1 > 0


                                   ⇒     1 - x = 1 - (1/2) = 1/2 > 0


•  (1 , ∞):     x = 2     ⇒     2x = 2·2 = 4 > 0


                                 ⇒     1 - x = 1 - 2 = - 1 < 0

(- ∞ , 0) (0 , 1) (1 , ∞)
2x - + +
1 - x + + -
- + -

El conjunto de soluciones es:     [0 , 1)


Incluimos el valor   x = 0 ,  puesto que la desigualdad requiere que el cociente sea mayor o igual que 0.


No incluimos el valor   x = 1 ,  pues el cociente no está definido en 1.

Resuelve la siguiente inecuación racional:


inec_racional


inec_racional


inec_racional


Calculamos las raíces del numerador y del denominador:


            x = 0


            - x2 - 40x + 4500 = 0


            solucion


Obtenidas las raíces, podemos factorizar la ecuación de segundo grado:


            - x2 - 40x + 4500 = (-1)(x + 90)(x - 50) = (x + 90)(50 - x) = 0



Estudiamos los signos en los intervalos:     (-∞ , - 90) , (- 90 , 0) , (0 , 50) , (50 , ∞)


•  (-∞ , -90):     x = - 100     ⇒     (x + 90)(50 - x) = (-100 + 90)(50 - (-100)) = (-10)(150) = - 1500 < 0


                                           ⇒     x = - 100 < 0


•  (-90 , 0):     x = -10     ⇒     (x + 90)(50 - x) = ((-10) + 90)(50 - (-10)) = (80)(60) = 4800 > 0


                                      ⇒     x = - 10 < 0


•  (0 , 50):     x = 10     ⇒     (x + 90)(50 - x) = (10 + 90)(50 - 10) = (100)(40) = 4000 > 0


                                      ⇒     x = 10 > 0


•  (50 , ∞):     x = 60     ⇒     (x + 90)(50 - x) = (60 + 90)(50 - 60) = (150)(-10) = - 1500 < 0


                                    ⇒     x = 60 > 0

(-∞ , - 90) (- 90 , 0) (0 , 50) (50 , ∞)
- x2 - 40x + 4500 - + + -
x - - + +
+ - + -

El conjunto de soluciones es:    (-90 , 0) ∪ (50 , ∞)

Resuelve la siguiente inecuación racional:


inec_racional


inec_racional


inec_racional


Aplicamos el m.c.m. de ambos denominadores:    m.c.m.((x-1), (x+1)) = (x - 1)(x + 1)


inec_racional


inec_racional


inec_racional


Calculamos las raíces del numerador y del denominador:


            4x - 2 = 0     ⇔    4x = 2     ⇔     x = 1/2


            (x - 1)(x + 1) = 0     ⇔     x - 1 = 0   o   x + 1 = 0     ⇔     x = 1   o   x = - 1


Estudiamos los signos en los intervalos:     (-∞ , - 1) , (- 1 , 1/2) , (1/2 , 1) , (1 , ∞)


•  (-∞ , - 1):    x = - 2     ⇒     4x - 2 = - 10 < 0


                                     ⇒     (x - 1)(x + 1) = ((-2) - 1)((-2) + 1) = 3 > 0


•  (-1 , 1/2):    x = 0     ⇒     4x - 2 = - 2 < 0


                                   ⇒     (x - 1)(x + 1) = - 1 < 0


•  (1/2 , 1):    x = 3/4     ⇒     4x - 2 = 4(3/4) - 2 = 3 - 2 = 1 > 0


                                   ⇒     (x - 1)(x + 1) = (3/4 - 1)(3/4 + 1) = (-1/4)(7/4) = -7/16 < 0


•  (1 , ∞):    x = 3     ⇒     4x - 2 = 4·3 - 2 = 10 > 0


                                ⇒     (x - 1)(x + 1) = (3 - 1)(3 + 1) = 8 > 0

(-∞ , - 1) (-1 , 1/2) (1/2 , 1) (1 , ∞)
4x - 2 - - + +
(x - 1)(x + 1) + - - +
- + - +

El conjunto de soluciones es:    (-1 , 1/2] ∪ (1 , ∞)


Incluimos el valor   x = 1/2 ,  puesto que la desigualdad requiere que el cociente sea mayor o igual que 0.


No incluimos los valores   x = ±1 ,  pues el cociente no está definido en ±1.

Resuelve la siguiente inecuación racional:


inecuacion_racional


2x2 - 8 = 0     ⇔     x2 = 4     ⇔     x = 2  ,  x = - 2


x3 - 6x2 + 5x = 0     ⇔     x(x2 - 6x + 5) = 0     ⇔     x = 0     o     x2 - 6x + 5 = 0


solucion_ec2grado


Factorizamos numerador y denominador:


inecuacion_racional


Estudiamos el signo en los intervalos:    (-∞ , -2) , (-2 , 0) , (0 , 1) , (1 , 2) , (2 , 5) , (5 , ∞)


•  (-∞ , - 2):     x = - 3     ⇒     2(x - 2)(x + 2) = 2(- 3 - 2)(- 3 + 2) > 0


                                      ⇒     x(x - 1)(x - 5) = (-3)(- 3 - 1)(- 3 - 5) = (-3)(-4)(-8) < 0


•  (-2 , 0):     x = - 1     ⇒     2(x - 2)(x + 2) = 2(- 1 - 2)(- 1 + 2) < 0


                                   ⇒     x(x - 1)(x - 5) = (-1)(- 1 - 1)(- 1 - 5) = (-1)(-2)(-6) < 0


•  (0 , 1):     x = 1/2     ⇒     2(x - 2)(x + 2) = 2(1/2 - 2)(1/2 + 2) < 0


                                  ⇒     x(x - 1)(x - 5) = (1/2)(1/2 - 1)(1/2 - 5) > 0


•  (1 , 2):     x = 3/2     ⇒     2(x - 2)(x + 2) = 2(3/2 - 2)(3/2 + 2) < 0


                                 ⇒     x(x - 1)(x - 5) = (3/2)(3/2 - 1)(3/2 - 5) < 0


•  (2 , 5):     x = 3     ⇒     2(x - 2)(x + 2) = 2(3 - 2)(3 + 2) > 0


                                ⇒     x(x - 1)(x - 5) = (3)(3 - 1)(3 - 5) < 0


•  (5 , ∞):     x = 6     ⇒     2(x - 2)(x + 2) = 2(6 - 2)(6 + 2) > 0


                                 ⇒     x(x - 1)(x - 5) = (6)(6 - 1)(6 - 5) > 0

(-∞ , -2) (-2 , 0) (0 , 1) (1 , 2) (2 , 5) (5 , ∞)
2(x - 2)(x + 2) + - - - + +
x(x - 1)(x - 5) - - + - - +
- + - + - +

El conjunto de soluciones es:    (-∞ , - 2) ∪ (0 , 1) ∪ (2 , 5)