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Ejercicios resueltos de triángulos cualesquiera I

1)   Resuelve un triángulo en el que se conoce el lado   a = 4,5 m   y los ángulos    B = 37o   y    C = 61o


2)   Resuelve un triángulo en el que se conocen los lados   a = 8,7 m   y   b = 5,4 m     y el ángulo   C = 63o


3)   Resuelve un triángulo en el que se conocen los lados   a = 7,5 m   y   b = 8 m     y el ángulo   B = 50o


4)   Resuelve un triángulo en el que se conocen los lados   a = 7,5 m   y   b = 6,2 m     y el ángulo   B = 50o


5)   Resuelve un triángulo en el que se conocen:   a = 7,5 m   y   b = 5 m     y el ángulo   B = 50o


6)   Resuelve los triángulos en los que se conocen:

a)   a = 9,3 m   ,   b = 6,72 m      y     c = 7,67 m
b)   a = 5 m      ,   b = 7 m          y     c = 15 m
c)   b = 10 cm   ,   A = 97o          y     B = 85o


7)   Decide si las siguientes medidas corresponden a las longitudes de lados de un triángulo e indica si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo:

a)   30 m, 20 m y 22 m          b)   25 m, 16 m y 8 m           c)   30 m, 40 m y 50 m
d)   2 m, 3 m y 5 m               e)   9 m, 40 m y 41 m           f)    5 m, 7 m y 6 m


8)   En el triángulo ABC los lados miden 12m, 14 m y 18 m. Halla la tangente del mayor de los ángulos.


9)   Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido entre ellos vale 45o. Halla los otros dos ángulos.


10)   Halla los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 25 m2 y dos de sus ángulos son 450 y 60o.


11)   Los lados de un triángulo miden 6 cm, 7 cm y 8 cm. Calcula el seno y el coseno del ángulo menor y la superficie del triángulo.


12)   Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC sabiendo que    a = 6 cm    y    A = 45o


13)   En el siguiente triángulo donde   AB= 10 cm ,   AC = 7,65 cm   y   A = 32o ,   hallar la proyección de   AC   sobre   AB ,   la altura del triángulo y su área.


14)   Calcula el área de un triángulo en el que se conocen:   a = 9,3 m   ,   b = 6,72 m     y     c = 7,67 m


Ejercicios resueltos de triángulos cualesquiera II

1)   Resuelve un triángulo en el que se conoce el lado   a = 4,5 m   y los ángulos    B = 37o   y    C = 61o


triangulo teorema seno

En este caso se trata de un triángulo en el que conocemos dos ángulos y un lado, por lo tanto la solución es única y aplicamos las siguientes fórmulas:


Datos  Incógnitas  Fórmulas  Resultado
A
Área 

2)   Resuelve un triángulo en el que se conocen los lados   a = 8,7 m   y   b = 5,4 m     y el ángulo   C = 63o


triangulo teorema coseno

En este caso se trata de un triángulo en el que conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, por lo tanto la solución es única y aplicamos los teoremas del seno y del coseno:

Datos  Incógnitas  Fórmulas  Resultado
c
Área 

3)   Resuelve un triángulo en el que se conocen los lados   a = 7,5 m   y   b = 8 m     y el ángulo   B = 50o


triangulo teorema seno

En este caso se trata de un triángulo en el que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, por lo tanto puede tener dos soluciones, una solución o ninguna.

Para resolver el triángulo utilizamos las siguientes fórmulas:

Datos  Incógnitas  Fórmulas  Resultado
A
Área 

4)   Resuelve un triángulo en el que se conocen los lados   a = 7,5 m   y   b = 6,2 m     y el ángulo   B = 50o


triangulo teorema seno

En este caso se trata de un triángulo en el que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, por lo tanto puede tener dos soluciones, una solución o ninguna.

Según la figura del triángulo se observa que existen dos soluciones:


Los triángulos definidos son:


Y el lado   c   es:

Datos  Incógnitas  Fórmulas  Resultado
A
Área 

5)   Resuelve un triángulo en el que se conocen:   a = 7,5 m   y   b = 5 m     y el ángulo   B = 50o



ejemplo triangulo sin solucion

En este caso se trata de un triángulo en el que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, por lo tanto puede tener dos soluciones, una solución o ninguna. Aplicando el teorema del seno tenemos que:



El seno de un ángulo no puede ser mayor que 1.

Por lo tanto, no existe solución, pues corresponde a la situación de la figura, donde el lado   b   es demasiado corto para cerrar el triángulo.

6)   Resuelve los triángulos en los que se conocen:

a)   a = 9,3 m   ,   b = 6,72 m      y     c = 7,67 m
b)   a = 5 m      ,   b = 7 m          y     c = 15 m
c)   b = 10 cm   ,   A = 97o          y     B = 85o



(a)

triangulo teorema seno

En este caso se trata de un triángulo en el que conocemos los tres lados, por lo tanto puede tener una única solución o ninguna.

Para resolver el triángulo utilizamos las siguientes fórmulas:

 

 

Datos  Incógnitas  Fórmulas  Resultado
A
Área 


(b)

Al ser el lado   c   mayor que la suma de los lados   a   y   b , es decir,   c > a + b   no se puede construir el triángulo, por lo que no existe solución.


(c)

No hay solución porque   A + B = 97o + 85o = 182o > 180o

7)   Decide si las siguientes medidas corresponden a las longitudes de lados de un triángulo e indica si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo:

a)   30 m, 20 m y 22 m          b)   25 m, 16 m y 8 m           c)   30 m, 40 m y 50 m
d)   2 m, 3 m y 5 m               e)   9 m, 40 m y 41 m           f)    5 m, 7 m y 6 m


(a)   30 m, 20 m y 22 m


También podemos calcular el valor de dicho ángulo aplicando el teorema del coseno:



(b)   25 m, 16 m y 8 m


(c)   30 m, 40 m y 50 m


También podemos calcular el valor de dicho ángulo aplicando el teorema del coseno:



(d)   2 m, 3 m y 5 m


(e)   9 m, 40 m y 41 m


También podemos calcular el valor de dicho ángulo aplicando el teorema del coseno:



(f)   5 m, 7 m y 6 m


También podemos calcular el valor de dicho ángulo aplicando el teorema del coseno:


8)   En el triángulo ABC los lados miden 12m, 14 m y 18 m. Halla la tangente del mayor de los ángulos.


Tenemos que calcular la tangente del ángulo C, ya que es el mayor por ser el opuesto al mayor de los lados.

Para calcular la tangente primero aplicamos el teorema del coseno y despues aplicamos la fórmula de la tangente:


9)   Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido entre ellos vale 45o. Halla los otros dos ángulos.



Descartamos el ángulo    C2    ya que es mayor que 180o

Por lo tanto los ángulos del triángulo son:


10)   Halla los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 25 m2 y dos de sus ángulos son 450 y 60o.


En primer lugar calculamos el ángulo que falta por conocer:



A continuación aplicamos la consecuencia del teorema del seno:


11)   Los lados de un triángulo miden 6 cm, 7 cm y 8 cm. Calcula el seno y el coseno del ángulo menor y la superficie del triángulo.


Tenemos que calcular la tangente del ángulo A, ya que es el menor por ser el opuesto al menor de los lados.

Por lo tanto aplicamos el teorema del coseno:



Una vez conocido el seno del ángulo A, podemos calcular el área del triángulo:


12)   Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC sabiendo que    a = 6 cm    y    A = 45o


13)   En el siguiente triángulo donde   AB= 10 cm ,   AC = 7,65 cm   y   A = 32o ,   hallar la proyección de   AC   sobre   AB ,   la altura del triángulo y su área.


triangulo proyeccion altura area



14)   Calcula el área de un triángulo en el que se conocen:   a = 9,3 m   ,   b = 6,72 m     y     c = 7,67 m


triangulo formula heron