Ejercicios de derivadas I

1. Inmediatas
2. k · f(x)
3. Operaciones
4. Regla de la cadena
5. Potenciales
6. Irracionales

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

1) y = 3π y' = 0

2) y = e⁵ y' = 0

3) y = x y' = 1·x^1-1 = x⁰ = 1

4) y = x⁷ y' = 7·x^7-1 = 7x⁶

5) y = 4x⁴ y' = 4·4·x^4-1 = 16x³

6) y = 1/x y = 1/x = x^-1 → y' = (-1)x^-1-1 = - x^-2 = -1/x²

7) y = 1/x³ y = 1/x³ = x^-3 → y' = (-3)x^-3-1 = -3x^-4 = -3/x⁴

8) y = 6/x² y = 6/x² = 6x^-2 → y' = 6·(-2)·x^-2-1 = -12x^-3 = -12/x³

derivada irracional
derivada raiz cubica

11) y = e^x y' = e^x

12) y = 2·e^x y' = 2·e^x

13) y = 5^x y' = 5^x Ln 5

14) y = Ln x y' = 1/x

18) y = sen x y' = cos x

19) y = 2 cos x y' = 2(- sen x) = - 2sen x

20) y = π tg x y' = π (1 + tg² x)

derivada arcoseno

derivada arcotangente

Calcula las derivadas de las siguientes funciones aplicando la propiedad del producto de un número por una función:

1) y = 6x y' = 6·(1·x^1-1 )= 6 x⁰ = 6·1 = 6

2) y = (-3)·4^x y' = (-3)·4^x·Ln 4

3) y = π²·sen x y' = π²·cos x

derivada por una constante

derivada por una constante

derivada producto

derivada por una constante

derivada producto

derivada producto

derivada función por constante

derivada funcion por constante

derivada funcion por cte

derivada raiz cubica

$derivada potencia fracción$
derivada funcion por constante
derivada de una potencia

derivada racional

derivada racional

derivada función racional

derivada racional

derivada racional
derivada potencial
simplificar derivada

derivada racional

derivada racional

derivada racional

derivada funcion racional

derivada funcion racional
derivada función racional
derivada función por constante

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

1) y = x + x²

u = x → u' = 1
v = x² → v' = 2x^2-1 = 2x

y = u + v → y' = u' + v' = 1 + 2x

2) y = 3x³ + 5x⁴

u = 3x³ → u' = 3·3x^3-1 = 9x²
v = 5x⁴ → v' = 5·4x^4-1 = 20x³

y = u + v → y' = u' + v' = 9x² + 20x³

derivada suma

derivada diferencia

derivada diferencia

4) y = cos x · tg x

u = cos x → u' = - sen x
v = tg x → v' = 1 + tg²

y = u · v → y' = u'·v + u·v' = (-sen x)(tg x) + (cos x)(1 + tg² x)

5) y = 3 x⁵· Ln x

u = 3x⁵ → u' = 3·5x^5-1 = 15x⁴
v = Ln x → v' = 1/x

derivada producto

derivada cociente

u = e^x → u' = e^x
v = 5 cos x → v' = 5(- sen x) = -5 sen x

derivada cociente

derivada cociente

u = x² - sen x → u' = 2x - cos x
v = Ln x → v' = 1/x

derivada cociente

derivada cociente

derivada cociente

derivada cociente

derivada del cociente

Aplicamos m.c.m(2√x , 1) = 2√x

derivada del cociente

Calcula la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena:

1) y = sen(2x)

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = 2x → u' = 2

y = sen(2x) → y' = 2 cos(2x)

2) y = cos² x

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = cos x → u' = - sen x

y = cos² x = (cos x)² → y' = (- sen x) 2 (cos x) = -2 (sen x) (cos x)

3) y = Ln (x² + x)

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = x² + x → u' = 2x + 1

regla de la cadena

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = 3 + 2x³ → u' = 0 + 2·3x^3-1 = 6x²

regla de la cadena

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = 5x³ - x² → u' = 15x² - 2x

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = x² - 1 → u' = 2x

regla de la cadena

7) y = cos(Ln x)

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = Ln x → u' = 1/x

aplicacion regla cadena

8) y = Ln(Ln x)

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = Ln x → u' = 1/x

9) y = (Ln x)²

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = Ln x → u' = 1/x

10) y = sen(sen x)

y = f(u) y' = u' f '(u)

u = sen x → u' = cos x

Calcula las siguientes derivadas compuestas, pasándolas a forma potencial si fuese necesario:

1) y = (x³ - x)²

y = uⁿ y' = n · u^n-1 · u'

u = x³ - x → u' = 3x^3-1 - 1 = 3x² - 1

y = (x³ - x)² → y' = 2(x³ - x)^2-1(3x² - 1) = 2(x³ - x)(3x² - 1)

2) y = (x³ + 2x² - 5)^-3

y = uⁿ y' = n · u^n-1 · u'

u = x³ + 2x² - 5 → u' = 3x² + 4x

y = (x³ + 2x² - 5)^-3 → y' = (-3)(x³ + 2x² - 5)^-3-1 (3x² + 4x) = - 3(x³ + 2x² - 5)^-4 (3x² + 4x)

y = uⁿ y' = n · u^n-1 · u'

u = x² - 5x + 1 → u' = 2x - 5

       derivada raiz cubica
       derivada funcion potencial

Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula de la raíz:

derivada de la raiz

derivada raiz

derivada función potencial

y = uⁿ y' = n · u^n-1 · u'

u = 5x³ - x² → u' = 15x² - 2x

       derivada función potencial

       derivada funcion potencial

Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula del cociente, el resultado es el mismo.

derivada función potencial

y = uⁿ y' = n · u^n-1 · u'

derivada función potencial

derivada funcion potencial

derivada funcion potencial

Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula del cociente, el resultado es el mismo.

derivada funcion potencial

y = uⁿ y' = n · u^n-1 · u'

derivada de potencias

derivada funcion potencial

derivada función potencial

Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula del cociente, el resultado es el mismo.

derivada funcion potencial

y = uⁿ y' = n · u^n-1 · u'

derivada función potencial

erivada función potencial

derivada función potencial

Esta derivada también se puede calcular aplicando la fórmula de la raíz:

derivada de la raiz

función potencial

derivada función irracional

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

1) y = 3e^{5x+ 1}

y = uⁿ y' = u' · e^u

u = 5x + 1 → u' = 5

y = 3e^{5x+ 1} → y' = 3·5·e^{5x + 1} = 15 e^{5x + 1}

derivada función exponencial

derivada función exponencial

simplificar derivada

Aplicamos la fórmula de la derivada para el producto:

función exponencial

Aplicamos la fórmula de la derivada para el cociente:

derivada del cociente

Aplicamos m.c.m. del denominador marcado en color rojo:

derivada función exponencial

y = a^u y' = u' · a^u · Ln a

u = √x → u' = 1/(2√x)

derivada función exponencial

Aplicamos la fórmula de la derivada para el producto:

derivada del producto

derivada doble producto