Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

1. Propiedades
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12. Resumen

1) Propiedades de las ecuaciones exponenciales:

1) La función exponencial es siempre positiva:

2) Si dos potencias de la misma base son iguales, los exponentes son iguales:

3) Si x e y son números reales y a y b son números reales positivos, entonces se verifican las siguientes igualdades:

exponenciales

2) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1) 2^x = 8

Ecuación: 2^x = 8

Factorizando: 2^x = 2³

Igualando: x = 3

2) 2^x = 64

Ecuación: 2^x = 64

Factorizando: 2^x = 2⁶

Igualando: x = 6

3) 3^x = 9

Ecuación: 3^x = 9

Factorizando: 3^x = 3²

Igualando: x = 2

4) 3^x+1 = 81

Ecuación: 3^x+1 = 81

Factorizando: 3^x+1 = 3⁴

Igualando: x + 1 = 4

Resolviendo: x = 3

5) 5^x = 3125

Ecuación: 5^x = 3125

Factorizando: 5^x = 5⁵

Igualando: x = 5

6) 2^x = 22

Ecuación: log(2^x) = log(22)

Despejando: x·log(2) = log(22)

Resolviendo: x = log(22) / log(2)

x = 4,46

3) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

ec_exponencial

4) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

ec_exponencial

5) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

ec_exponencial

6) Resolver la siguiente ecuación exponencial:

ec_exponencial

7) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

ec_exponencial

8) Resolver la siguiente ecuación exponencial:

ec_exponencial

9) Resolver la siguiente ecuación exponencial:

ec_exponencial

10) Resolver la siguiente ecuación exponencial:

ec_exponencial

11) Resolver la siguiente ecuación exponencial:

ec_exponencial

12) Podemos agrupar la resolución de ecuaciones exponenciales en tres casos:

A) Ambos miembros se pueden poner como potencia de la misma base

1) 5^x = 25

El segundo miembro se puede expresar en la misma base que el primer miembro.

5^x = 5²

x = 2

2) 3^{x - 1} + 3^x + 3^{x + 1} = 117

Sacamos factor común: 3^x (3^{- 1} + 1 + 3) = 117

Simplificamos:

Resolvemos: 3^x = 27 = 3³ ⇒ x = 3

B) Se reduce a una ecuación de segundo grado

1) 5^2x - 30 · 5^x + 125 = 0

Operamos: (5^x)² - 30 · 5^x + 125 = 0

Hacemos la sustitución y = 5^x : y² - 30 · y + 125 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Se deshace el cambio: y = 5^x = 5 ⇒ x = 1

y = 5^x = 25 = 5² ⇒ x = 2

C) Cuando las ecuaciones exponenciales tienen distinta base, se pueden aplicar logaritmos

1) 3^x = 8

Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:

x = log₃8

A continuación cambiamos a base decimal:

2) 7^{x - 1} - 2^{x + 5} = 0

Despejamos uno de los sumandos: 7^{x - 1} = 2^{x + 5}

Aplicamos logaritmo a ambos miembros: log (7^{x - 1}) = log (2^{x + 5})

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia: (x - 1)log 7 = (x + 5)log 2

Operamos y despejamos la incógnita x:

x log 7 - log 7 = x log 2 + 5 log 2

x log 7 - x log 2 = 5 log 2 + log 7

x (log 7 - log 2) = 5 log 2 + log 7