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Valor absoluto

El valor absoluto de un número real  a  coincide con él mismo si es positivo  ó  0,  y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por |a|.

valor_absoluto

De modo que el valor absoluto de cualquier número nunca es negativo.

El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto.

Ejemplos de valor absoluto

a) |3,5| =  3,5


b) |-1,6| = 1,6


c) |4 - 9| = |-5| = 5


d) |π - 2| = π - 2 = 1,141...


e) |-3| + |√2| = 3 + √2 = 4,414...


f) |-4,2| - |-4,2| = 4,2 - 4,2 = 0


Propiedades del valor absoluto

1. |a| = |-a|

2. |a · b| = |a| · |b|

3. |a +b | ≤ |a| + |b|           Desigualdad triangular

4. Si |a| < k                         -k < a < k

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto

1. |-7| = |7| =7


2. |(-2) · 5| = |-10| = 10 = |-2| · |5| = 2 · 5


3. |4 + 2| = |6| = 6 = |4| + |2|


       Igualmente:


    |4 + (-2)| = |2| =  2  ≤ |4| + |-2| = 4 + 2 = 6


4. Si |3|<4, entonces -4 < 3 < 4

Observaciones de las propiedades del valor absoluto

|x| = a   son los valores x tales que   x = a   o   x = - a

|x| < a   son los valores x tales que   - a < x < a

|x| > a  son los valores x tales que   x < - a   o   x > a


La desigualdad   |x| ≤ a   describe el intervalo cerrado    [-a , a]  , simétrico respecto al origen.

Y los números reales   |x| < a   son los del intervalo abierto    (-a, a).

La desigualdad   |x| ≥ a   describe la unión de los intervalos   (-∞ , -a] ∪ [a , ∞).

Y los números reales   |x| > a   son la unión de los intervalos abiertos   (-∞ , -a) ∪ (a , ∞).


La desigualdad   |x - c| < d   es el intervalo abierto  (c - d , c + d)  , denominado también entorno de centro   c    y   radio  d,  E(c , r).

La desigualdad   |x - c| ≤ d   es el intervalo cerrado    [c - d , c + d].

La desigualdad   |x - c| > d   es la unión de los intervalos    (-∞ , c - d) ∪ (c + d , ∞).

La desigualdad   |x - c| ≥ d   es la unión de los intervalos    (-∞ , c - d] ∪ [c + d , ∞).

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto

a) La expresión   |x| < 5   representa el intervalo abierto  (-5, 5)


      |x| < 5     ⇔     -5 < x < 5       ⇔    x ∈ (-5,5)


b) La expresión   |x| ≤ 5   representa el intervalo cerrado  [-5, 5]


      |x| ≤ 5   ⇔   -5 ≤ x ≤ 5    ⇔   x ∈ [-5,5]


c) La expresión   |x-5| ≤ 7   representa el intervalo cerrado  [-2, 12]


      pues   |x-5| ≤ 7   ⇔    -7 ≤  x - 5  ≤ 7     ⇔   - 7 + 5 ≤ x ≤ 7 + 5    ⇔     - 2 ≤ x ≤ 12   ⇔    x ∈ [-2, 12]


d) La expresión     |x| > 5     representa la unión de intervalos (-∞, -5)∪(5, ∞), pues


      |x| > 5    ⇔   x < -5     o     x > 5    ⇔     x ∈ (-∞ , -5) ∪ (5 , ∞)


e) La expresión   |x-5| ≥ 7   representa la unión de intervalos (-∞, -2] ∪ [12 , ∞), pues


      |x-5| ≥ 7    ⇔   x-5 ≤ -7       o        x-5 ≥ 7    ⇔     x ≤ 5-7      o         x ≥ 5+7    ⇔     x ∈ (-∞ , -2] ∪ [12 , ∞)


Expresión con valor absoluto
a > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto
|x| = a La distancia de x al origen es a x = ± a
|x| < a La distancia de x al origen es estrictamente menor que a - a < x < a
|x| ≤ a La distancia de x al origen es menor o igual que a - a ≤ x ≤ a
|x| > a La distancia de x al origen es estrictamente mayor que a x >a    ó    x < - a
|x| ≥ a La distancia de x al origen es mayor o igual que a x ≥ a     ó    x ≤ - a
 
0 < |x| < a La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayor que 0 0 < |x|   ⇔   x≠ 0
|x| < a   ⇔  - a < x < a


Por tanto:
0 < |x| <a  ⇔   x≠ 0   y  - a < x < a

e < |x| < a
(e > 0 , e < a)

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayor que e e < |x|   ⇔  x > e    ó    x < - e
|x| < a  ⇔  - a < x < a


Por tanto:
0 < |x| < a  ⇔  
- a < x < -e
  ó   e < x < a

Distancia

La distancia entre dos números   a   y   b   es el valor absoluto de su diferencia.

d(a,b) = |b-a| = |a-b|


La distancia entre   a   y   b   es la longitud del segmento de extremos   a   y   b . Por tanto, la distancia entre dos números siempre es positiva.

La unidad de medida de longitud es la distancia entre los números 0 y 1.

Ejemplo de distancia entre dos puntos

La distancia entre los números    -4  y  7   será:        d(-4,7) =  |(-4) -7| = |7 - (-4)| = 11



Expresión con valor absoluto
d > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto
|x - c| = d La distancia entre x y c es d x - c = ± d   ⇔  
x = d + c
   ó    x = - d +c  
|x - c| < d La distancia entre x y c es estrictamente menor que d - d < x - c < d  ⇔ 
- d + c < x < d + c
|x - c| ≤ d La distancia entre x y c es menor o igual que d  
- d ≤ x - c ≤ d  ⇔ 
- d + c ≤ x ≤ d + c
|x - c| > d La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d x - c > d     ó    x - c < - d

Por tanto:
x > c + d    ó    x < c - d
|x - c| ≥ d La distancia entre x y c es mayor o igual que d x - c ≥ d     ó    x - c ≤ - d

Por tanto:
x ≥ c + d    ó    x ≤ c - d
 
0 < |x - c| < d La distancia entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que 0 0 < |x - c|   ⇔   x - c ≠ 0  ⇔  x ≠c
|x - c| < d   ⇔  - d + c < x < d + c


Por tanto:
0 < |x - c| < d   ⇔ 
x ≠c   
y  - d + c < x < d + c

e < |x- c| < d
(e > 0 , e < d)

La distancia de x al origen es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que e e < |x - c|   ⇔  x > c + e  ó  x < c - e
|x| < d   ⇔  - d < x < d


Por tanto:
0 < |x| < d   ⇔  
c - d < x < c - e
 ó  c + e < x < c + d

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