Ejercicios resueltos de elipses
1 ) Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipses:
2 ) Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:
3 ) Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:
4 ) Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:
a) Sus focos son F'(-3, 0) y F(3, 0) y dos de sus vértices son (-4, 0) y (4, 0)
b) Pasa por los puntos (3, 0) y (2, 1/5)
5 ) Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:
a) F'(-4, 0) y F(4, 0) y longitud del eje menor 6
b) F'(0, -2) y F(0, 2) y cuya excentricidad es igual a 0,4
c) El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)
d) El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6
6 ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a R(-4, 0) y S(4, 0) es igual a 10 .
7 ) Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos R(0, -3) y S(0, 3) es igual a 10 .
8 ) Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P(10, -4) y que su eje mayor es igual al doble del menor.
9 ) Hallar la ecuación de la tangente y de la normal de la elipse 2x2+y2=3 en el punto A(-1,1).
10 ) Dada la siguiente elipse 4x2 + 5y2 = 20 hallar las rectas tangente y normal en el punto de ordenada y= - 1 y abscisa positiva.
11 ) Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P(5, 0) :
1 ) Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipses:
(a)
(b)
2 ) Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:
(a)
(b)
3 ) Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipes:
(a)
(b)
4 ) Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:
a) Sus focos son F'(-3, 0) y F(3, 0) y dos de sus vértices son (-4, 0) y (4, 0)
b) Pasa por los puntos (3, 0) y (2, 1/5)
(a)
(b)
5 ) Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:
a) F'(-4, 0) y F(4, 0) y longitud del eje menor 6
b) F'(0, -2) y F(0, 2) y cuya excentricidad es igual a 0,4
c) El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)
d) El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6
(a)
(b)
(c)
(d)
6 ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a R(-4, 0) y S(4, 0) es igual a 10 .
Otro método:
7 ) Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos R(0, -3) y S(0, 3) es igual a 10 .
Otro método:
8 ) Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P(10, -4) y que su eje mayor es igual al doble del menor.
9 ) Hallar la ecuación de la tangente y de la normal de la elipse 2x2+y2=3 en el punto A(-1,1).
El punto A es de la elipse. Como la recta tangente buscada pasa por A(-1,1), su ecuación será de la forma y-1=m(x+1). Para que dicha recta sea tangente a la elipse, el sistema
Despejando el valor de y en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, resulta:
Desarrollando y simplificando se obtiene:
10 ) Dada la siguiente elipse 4x2 + 5y2 = 20 hallar las rectas tangente y normal en el punto de ordenada y= - 1 y abscisa positiva.
11 ) Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P(5, 0) :
Tenemos que resolver el siguiente sistema: