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Área bajo una curva. Integral definida

Trapecio mixtilíneo

Es la figura determinada por la curva   y = f(x)   el eje   OX   y las rectas   x = a   y   x = b .


Partición de un intervalo

Una partición   P    de un intervalo   [a, b]   es una colección finita de puntos de   [a, b] , donde:


Una partición de   n+1   puntos divide un intervalo en   n   subintervalos de   [a,b] :


Una partición   P   es más fina que otra   P'   cuando   P   contiene a   P' , es decir   P' ⊂ P

Son particiones de   [-1, 5] :    P = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

P' = {-1, 0, 1, 3, 5}

Por lo tanto tenemos que   P' ⊂ P

Por el teorema de Weirstrass sabemos que si una función    f(x)    es continua en el intervalo    [a, b] ,   existen dos puntos de dicho intervalo en los que    f(x)    alcanza el máximo y el mínimo.

Llamaremos   M   al valor máximo y   m   al valor mínimo.


                   

Aplicando el teorema de Weierstrass a cada subintervalo [xi-1, xi], se alcanzan tanto el máximo como el mínimo en dichos subintervalos. Llamaremos  Mi    al máximo de la función en el intervalo  [xi-1, xi]    y   mi    al mínimo de la función en el intervalo    [xi-1, xi].

Dado el subintervalo   [xi-1, xi] ,   el valor del producto    mi·(xi - xi-1)    es el área    R    del rectángulo contenido en el trapecio mixtilíneo y    Mi·(x- xi-1)   es el área del rectángulo que lo contiene.


La suma inferior de   f   asociada a la partición   P   es :


La suma superior de   f   asociada a la partición   P   es :


Si llamamos   A   al área de la región del trapecio mixtilíneo ,  entonces   A   está comprendido entre la suma inferior y la suma superior.

Si tomamos particiones cada vez más finas del intervalo llegamos a una sucesión de sumas inferiores creciente y acotada superiormente por cualquiera de las sumas superiores y también una sucesión de sumas superiores decreciente y acotada inferiormente por cualquiera de las sumas inferiores, y en los dos casos por A. Es decir:

De esta forma, ambas sucesiones tienen límite y al tratarse en nuestro caso de una función continua, el límite coincide:

Integral definida de una función continua

Dada una función   f(x)   continua en   [a, b] ,  llamamos integral definida de   f(x)   en   [a, b]   al límite común de las sumas superiores e inferiores y lo llamamos de la siguiente forma:

                          


Esta notación se debe a Leibniz. El símbolo de integral es una   S   alargada que recuerda que la integral es un límite de suma.



Por tanto, se define el área del trapecio mixtilíneo que delimita la curva de una función continua    f(x)    y el eje    OX    entre las rectas    x = a    y    x = b    como :

Toda función que cumpla este requisito, sea continua o no, es Riemann integrable.


  Hallar, aplicando la definción de integral, el área de la región delimitada por la recta    f ( x ) = x    y el eje de abscisas entre las rectas    x = 0    y     x = 1.

Vamos a tomar la partición del intervalo [0,1] que lo divide en n partes iguales. Sea

Cada intervalo de la partición tendrá una amplitud de 1/n:

Como la función f(x)=x es creciente, tenemos que, en cada intervalo    [ xi-1 , xi ]    de la partición se verifica que:

Teniendo en cuenta todo esto,

De manera que, los límites de las sumas superiores e inferiores son:

Ambos límites son iguales:

Como f(x) = x es una función integrable en [ 0, 1 ], podemos afirmar que:


Suma de Riemann animada


suma de riemann animada

      suma de riemann animada

http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Animations_of_curves

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