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Problemas resueltos de Áreas III: En función de  y

1)     Hallar el área de la región limitada por el eje de ordenadas, la recta    y = 3    y la curva    y = ex

2)     Hallar el área de la región limitada por el eje de ordenadas, la curva

y las rectas     y = 2,     y = 4.

3)     Hallar el área limitada por la parábola    y2 = 4 - x    y el eje de ordenadas.

4)     Hallar el área del recinto limitado por la curva     y2 + 2y + x - 3 = 0     y la recta y= 4x + 1

5)     Determinar el área del recinto limitado por la parábola

y 2 = 2x

y la recta que une los puntos ( 2, -2 ) y ( 4, 2√2 )

6)    Hallar el área encerrada por

y2+ 2y + x - 3 = 0                        e                       y = x + 1

7)    Hallar el área limitada por las curvas      y2 = 4x     ;     y2 = x + 3.

1)     Hallar el área de la región limitada por el eje de ordenadas, la recta    y = 3    y la curva    y = ex

Empezamos esbozando la curva y = ex. Observamos primero que     y' = ex,    y'' = ex >0   de manera que la función es convexa. Por otra parte si    x = 0,    entonces    y = 1.


A la vista de la gráfica, es claro que tendremos que integrar sobre el eje de ordenadas entre 1 y 3. La función que tendremos que considerar será la inversa de y = ex, es decir, integraremos la función     x = log y.       Por tanto, el área que se nos piden se calculará como sigue:
de es la siguiente:

2)     Hallar el área de la región limitada por el eje de ordenadas, la curva

y las rectas     y = 2,     y = 4.

Empezamos esbozando la gráfica. Por su forma vemos que es una hipérbola equilátera. Igualando el denominador a    0    obtenemos que    x = -2    es la asíntota vertical de la curva.
Por otra parte

de manera que    y = 1    es la asíntota horizontal de la curva. Podemos ahora despejar    x    obteniendo la exprresión de la curva con    y    como variable independiente:


 

A la vista de la gráfica, vemos que bastará con integrar tomando     y     como variable independiente para     y     entre 2 y 4:

 

3)     Hallar el área limitada por la parábola    y2 = 4 - x    y el eje de ordenadas.

Puntos de corte

De manera que los puntos de corte son    ( 0, 2 )  ,    ( 0, -2 )    con el eje de ordenadas y    ( 4, 0 )    con el eje de abscisas.

A la vista de la gráfica el área, vemos que nos interesa integrar respecto de    y   , de manera que:

4)     Hallar el área del recinto limitado por la curva     y2 + 2y + x - 3 = 0     y la recta y= 4x + 1

Por la forma que tiene la primera ecuación, para evitar tener que trabajar con radicales al despejar a la incognita    y,    resulta más conveniente utilizar a    y     como variable independiente. Despejando    x,    podemos expresar las ecuaciones como sigue:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

obtenemos que los puntos de corte son los que tienen

Si derivamos la primera ecuación, obtenemos que     x' = -2 - 2y.   Igualando a 0,    -2 -2y = 0   si y sólo si   y = -1.    Derivando de nuevo, obtenemos que    x'' = -2,   de manera que en  y = -1   la parábola alcanza su máximo, es decir, su vértice (4,-1). Esto nos dice que en y = -1 la parábola alcanza su valor máximo de x, que es 4.

Puntos de corte

Si x = 0,     3 - 2y -y= 0 ⇔   y = 1 ó y = -3,      por tanto, los puntos de corte con el eje de ordenadas son (0,1) y (0,-3)

Si    y=0, entonces    x=3,    de manera que el punto de corte con el eje de abscisas es    (3,0).

Teniendo en cuenta todo lo anterior el área del recinto es:

5)     Determinar el área del recinto limitado por la parábola

y 2 = 2x

y la recta que une los puntos ( 2, -2 ) y ( 4, 2√2 )

Observamos que no es difícil esbozar la parábola que nos dan en el enunciado ya que pasa por el punto (0,0) en el cual alcanza un mínimo en    x    ya que    x'=y,    y además,      x''=1>0.

Vemos ahora que los puntos del enunciado están sobre la parábola. En efecto,

Calculamos ahora la ecuación de la recta:

Teniendo esto en cuenta la gráfica de la recta y la parábola es la siguiente:

A la vista de la gráfica bastará con que integremos respecto a    y    entre    -2    y    2√2:

6)    Hallar el área encerrada por

y2+ 2y + x - 3 = 0                        e                       y = x + 1

Los puntos de corte de la parábola
x = -y2- 2y + 3
con los ejes son ( 0 , 1 ), ( 0 , -3 ) con el eje OY y ( 3 , 0) con el eje OX. Además la parábola alcanza un máximo de la x en el punto ( 4 , -1 ).

Puntos de intersección de la recta y la parábola

Y los puntos de intersección son     ( 0 , 1 )      y     ( -5, -4 ).

Teniendo en cuenta todo lo anterior podemos esbozar la gráfica como sigue:

A la vista de la gráfica podemos calcular el área que nos piden integrando con respecto a     y     entre     -4     y     1.

7)    Hallar el área limitada por las curvas      y2 = 4x     ;     y2 = x + 3.

Empezamos encontrando los puntos en los cuales se intersecan las dos curvas

de manera que los puntos de intersección son     ( 1, 2 )     y     ( 1 , -2 ).

A la vista de la gráfica, el área pedida se calcula como sigue: