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Descomposición de una fracción racional en fracciones simples

Cuando el denominador de una fracción algebráica puede descomponerse en factores, la fracción se puede escribir como suma o diferencia de otras fracciones más sencillas.

Este proceso se conoce como descomposición en fracciones simples.


1) El denominador es un polinomio de segundo grado con dos raíces reales simples

ax2 + bx + c = 0

Tiene dos raíces reales distintas   x = x1   y   x = x2


La descomposición es la siguiente:


descomposicion


Los valores   A   y   B   se determinan por el método de identificación de coeficientes.

Ejemplo de descomposición en fracciones simples:

descomposicion

Como las soluciones de   x2 - 5x + 6 = 0   son   x1 = 3   y   x2 = 2 , la descomposición que se hace es la siguiente:


descomposicion


La fracción dada y la obtenida al sumar las dos fracciones simples son iguales. Como sus denominadores son iguales, también deben serlo sus numeradores. Por lo tanto:


3x - 1 = A(x - 2) + B(x - 3)


Para    x = 2   tenemos que:    6 - 1 = - B    ⇒    B = - 5

Para    x = 3   tenemos que:    9 - 1 = A      ⇒    A = 8


Por lo tanto la descomposición queda de la siguiente manera:

solucion


Otra forma de realizar la descomposición es a partir de la identificación de coeficientes

3x - 1 = A(x - 2) + B(x - 3)

3x - 1 = Ax - 2A + Bx - 3B

3x - 1 = (A + B)x - (2A + 3B)


sistema

2) El denominador es un polinomio de segundo grado con una raíz real doble

ax2 + bx + c = 0

Tiene una raíz real doble   x = x1


La descomposición es la siguiente:


descomposicion


3) El denominador tiene factores lineales de la forma   x - a

Q(x) = (x - a1) · (x - a2) · (x - a3) ·  ...  · (x - an)


Tiene   n   raíces reales   x = a1 ,   x = a2 ,   x = a3   ...   x = an

descomposicion


4) El denominador es un polinomio de la forma (ax + b)n

Q(x) = (ax + b)n

Tiene   n   raíces iguales   x = - b/a


descomposicion

5) El denominador tiene un factor cuadrático irreducible de la forma   ax2 + bx + c

Q(x) = ax2 + bx + c     irreducible, es decir, no se puede descomponer en dos factores lineales, ya que las raíces son imaginarias.


Por tanto   b2 - 4ac < 0   ,    siendo   a ,   b   y   c   números reales donde   a ≠ 0


descomposicion

6) El denominador es un polinomio de la forma (ax2 + bx + c)n

Q(x) = (ax2 + bx + c)n     donde     ax2 + bx + c     es irreducible, es decir, no se puede descomponer en factores lineales


Por tanto   b2 - 4ac < 0   ,    siendo   a ,   b   y   c   números reales donde   a ≠ 0

descomposicion


izquierda
         arriba