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Ejercicios resueltos de factorización de polinomios

Hallar las raíces enteras de los siguientes polinomios:


1)   x3 + 2x2 - x - 2


Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio:   ±1   y   ±2.


P(1) = 13 + 2·12 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0


regla_ruffini


P(-1) = (-1)3 + 2·(-1)2 -(-1) - 2 = -1 + 2 + 1 - 2 = 0


regla_ruffini


P(2) = 23 + 2·22 - 2 - 2 = 8 + 8 - 2 - 2 = 12


regla_ruffini


P(-2) = (-2)3 + 2·(-2)2 - (- 2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0


regla_ruffini


Por lo tanto, las raíces enteras del polinomio son   + 1 ,   - 1   y   - 2.




2)   x3 + 3x2 - 4x - 12


Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio:   ±1 ,   ±2 ,   ±3 ,  ±4 ,  ±6   y   ±12.


P(2) = 23 + 3·22 - 4·2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0


P(-2) = (-2)3 + 3·(-2)2 - 4·(-2) - 12 = -8 + 12 + 8 - 12 = 0


P(-3) = (-3)3 + 3·(-3)2 - 4·(-3) - 12 = -27 + 27 + 12 - 12 = 0


Por lo tanto, las raíces enteras del polinomio son   + 2 ,   - 2   y   - 3.




3)   x5 + x4 - 16x - 16


Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio:   ±1 ,   ±2 ,   ±4 ,  ±8   y   ±16.


P(-1) = (-1)5 + (-1)4 - 16·(-1) - 16 = -1 + 1 + 16 - 16 = 0


P(2) = 25 + 24 - 16·2 - 16 = 32 + 16 - 32 - 16 = 0


P(-2) = (-2)5 + (-2)4 - 16·(-2) - 16 = -32 + 16 + 32 - 16 = 0


Por lo tanto, las raíces enteras del polinomio son   - 1 ,   + 2   y   - 2.




4)   x4 - x3 + 4x2 - 256


Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio:   ±1 ,   ±2 ,   ±4 ,   ±8 ,   ±16 ,   ±32 ,   ±64 ,   ±128   y   ±256.


P(4) = 44 - 43 + 4·42 - 256 = 256 - 64 + 64 - 256 = 0


Por lo tanto la única raíz es 4.




Hallar un polinomio cuyas raíces sean   0 ,  1 ,  - 2   y   3


P(x) = x (x - 1) (x + 2) (x + 3) = (x2 - x) (x2 + 5x + 6) = x4 + 5x3 + 6x2 - x3 - 5x2 - 6x = x4 + 4x3 + x2 - 6x


Descomponer las siguientes expresiones notables en productos de dos o más factores:


1)   x2 + 2x + 1


x2 + 2x + 1 = (x + 1) (x + 1)


Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable:   (x + y)2 = x2 + 2xy + y2



2)   x2 - 6x + 9


x2 - 6x + 9 = (x - 3) (x - 3)


Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable:   (x - y)2 = x2 - 2xy + y2





Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable:   (x - y)2 = x2 - 2xy + y2



4)   x4 + 16x2 + 64


x4 + 16x2 + 64 = (x2)2 + 2·8x2 + (82) = (x2 + 8)2


Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable:   (x + y)2 = x2 + 2xy + y2



5)   x2 - 16


x2 - 16 = (x + 4) (x - 4)


Diferencia de cuadrados de la expresión notable:   x2 - y2 = (x + y) (x - y)



6)   16x2 - 9y2


16x2 - 9y2 = (4x)2 - (3y)2 = (4x + 3y) (4x - 3y)


Diferencia de cuadrados de la expresión notable:   x2 - y2 = (x + y) (x - y)



7)   x16 - y16


x16 - y16 = (x8)2 - (y8)2 = (x8 + y8)(x8 - y8)


Diferencia de cuadrados de la expresión notable:   x2 - y2 = (x + y) (x - y)



8)   x3 + 6x2 + 12x + 8


x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3


Expresión notable de:   (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3



9)   x3 - 3x2 + 3x - 1


x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x - 1)3


Expresión notable de:   (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3



10)   8x3 + 1


8x3 + 1 = (2x)3 + 13 = (2x + 1)(4x2 - 2x + 1)


Expresión notable de:   x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)



11)   x3 - 27


x3 - 27 = x3 - 33 = (x - 3)(x2 + 3x + 9)


Expresión notable de:   x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)



Factoriza los siguientes trinomios:


1)   x2 - x - 2


Por lo tanto se trata de un polinomio irreducible.


Al tratarse de una ecuación de segundo grado podemos resolver directamente la ecuación, aplicar la regla de Ruffini o en último lugar, aplicar el teorema del resto.


En primer lugar realizamos la factorización resolviendo la ecuación de segundo grado:


x2 - x - 2 ,    donde a = 1 ,   b = -1   y   c = -2



ecuacion_2grado



Por lo tanto, la ecuación se anula para   x1 = 2   y para   x2 = - 1.


El trinomio es una ecuación de segundo grado la cual se descompone de la siguiente manera:


ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)


Es decir:   x2 - x - 2 = (x - 2) (x + 1)



También podemos llegar al mismo resultado si aplicamos la regla de Ruffini:


regla_ruffini


Es decir:   x2 - x - 2 = (x + 1) (x - 2)



2)   42 - x - x2


Realizamos la factorización resolviendo la ecuación de segundo grado:



ecuacion_2grado_2



Las raíces son   x1 = 6   y   x2 = - 7.


El trinomio es una ecuación de segundo grado la cual se descompone de la siguiente manera:


ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)


42 - x - x2 = - (x - 6) (x + 7) = (6 - x) (x + 7)




3)   3x2 + 10x + 3


Resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular las raíces:



ecuacion_2grado_3




El trinomio es una ecuación de segundo grado la cual se descompone de la siguiente manera:


ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)




Descomponer en producto de factores los siguientes polinomios:


1)   x3 - x2 - x + 1


Aplicamos la regla de Ruffini para los divisores de 1, es decir,   ±1.



regla_ruffini



Por lo tanto:   x3 - x2 - x + 1 = (x - 1) (x - 1) (x + 1) = (x - 1)2 (x + 1)




2)   x3 + 2x2 + 2x + 1


Aplicamos la regla de Ruffini para los divisores de 1, es decir,   ±1.



regla_ruffini



Por lo tanto:   x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1) (x2 + x + 1)



Si intentamos resolver la ecuación de segundo grado   x2 + x + 1 = 0   ocurre lo siguiente:



Es decir, el discriminante es negativo, por lo que las raíces son imaginarias y no podemos descomponer dicho polinomio.




3)   x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4


En este caso aplicamos la regla de Ruffini para los divisores de 4.



regla_ruffini



Es decir:   x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4 = (x - 1) (x - 1) (x + 2) (x + 2) = (x - 1)2 (x + 2)2




4)   x4 - 6x3 - 11x2 + 96x - 80


Volvemos a utilizar la regla de Ruffini.



regla_ruffini



Por lo tanto:   x4 - 6x3 - 11x2 + 96x - 80 = (x - 1) (x - 4) (x + 4) (x - 5)




5)   6x3 + 7x2 - 9x + 2


Comenzamos aplicando la regla de Ruffini con los divisores del término independiente.



regla_ruffini



Es decir:   6x3 + 7x2 - 9x + 2 = (x + 2) (6x2 - 5x + 1)


Llegados a este punto no podemos continuar aplicando la regla de Ruffini ya que no es divisible entre   ±1.


A continuación buscamos las raíces del polinomio:   6x2 - 5x + 1



ecuacion_2grado_4




Finalmente, el polinomio inicial se descompone de la siguiente manera:




Demuestra que los siguientes polinomios son irreducibles:


1)   x2 + 6


Si intentamos resolver la ecuación de segundo grado   x2 + 6 = 0   obtenemos que:



Es decir, no tiene soluciones reales, por lo tanto el polinomio inicial es irreducible.



2)   3x2 + 3x + 3


3x2 + 3x + 3 = 3(x2 + x + 1)


Si intentamos resolver la ecuación de segundo grado   x2 + x + 1 = 0   ocurre lo siguiente:



Es decir, el discriminante es negativo, por lo que las raíces son imaginarias y no podemos descomponer dicho polinomio.


Este polinomio sería reducible si tuviera un factor de grado 1 o mayor. En este caso el único factor real es de grado 0.


Por lo tanto se trata de un polinomio irreducible.



3)   x4 + 1


Este polinomio nunca se anula puesto que   x4 + 1 > 0   para cualquier valor de x.


Por lo tanto no posee raíces reales y se trata de un polinomio irreducible.



4)   x2 - x + 1


Al intentar resolver la ecuación de segundo grado   x2 - x + 1 = 0   ocurre lo siguiente:



Por lo tanto, al igual que ocurre en el apartado 2, este polinomio es irreducible.


Halla el máximo común divisor y el mínimo común multiplo de los siguientes polinomios:


1)   P(x) = x4 - 5x3 + 5x2 + 5x - 6   y   Q(x) = x6 - 4x5 + 3x4 + 4x3 - 5x2 + 1


En primer lugar factorizamos el polinomio   P(x)   aplicando para ello la regla de Ruffini.



regla_ruffini



Por lo tanto, el polinomio   P(x)   se descompone de la siguiente forma:


P(x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x - 3)



A continuación descomponemos en factores el polinomio   Q(x)   aplicando también la regla de Ruffini:



regla_ruffini



En el último paso al aplicar la regla de Ruffini, el polinomio no es divisible ni por   + 1   ni por   - 1.


Por lo tanto resolvemos la ecuación de segundo grado:   x2 - 2x - 1 = 0



ecuacion_2grado



Finalmente, el polinomio   Q(x)   se descompone de la siguiente forma:


Q(x) = (x - 1)3 (x + 1) (x - 1 - √2) (x - 1 + √2)



Una vez descompuestos factorialmente ambos polinomios podemos calcular el M.C.D. y el m.c.m.:


M.C.D. son los factores comunes de menor exponente.


M.C.D. [ P(x) , Q(x) ] = (x - 1) (x + 1) = (x2 - 1)


m.c.m. son los factores comunes y no comunes de mayor exponente.


m.c.m. [ P(x) , Q(x) ] = (x - 1)3 (x + 1) (x - 2) (x - 3) (x - 1 - √2) (x - 1 + √2)



2)   P(x) = x6 - x2   y   Q(x) = x4 - x3 + x2 - x


El polinomio   P(x)   lo podemos descomponer sacando factor común y aplicando la igualdad notable diferencia de cuadrados igual a suma por diferencia:


P(x) = x2 (x4 - 1) = x2 [(x2)2 - 12] = x2 (x2 - 1) (x2 + 1) = x2 (x + 1) (x - 1) (x2 + 1)


Donde el factor   x2 + 1   es irreductible puesto que no se anula para ningún valor real de   x.



Para descomponer en factores   Q(x)   sacamos factor común y despues aplicamos la regla de Ruffini.


Q(x) = x (x3 - x2 + x - 1)



regla_ruffini



Por lo tanto, el polinomio   Q(x)   se descompone de la siguiente forma:


Q(x) = x (x - 1) (x2 + 1)


Al igual que ocurriese anteriormente, el polinomio   x2 + 1   es irreducible.



Una vez descompuestos factorialmente ambos polinomios, calculamos el M.C.D. y el m.c.m.:


M.C.D. [ P(x) , Q(x) ] = x (x - 1) (x2 + 1)


m.c.m. [ P(x) , Q(x) ] = x2 (x + 1) (x - 1) (x2 + 1)


Tabla de fórmulas de factorización:

Diferencia de cuadrados a2  -  b2  =  (a  +  b) (a  -  b)
Trinomio cuadrado perfecto a2  +  2ab  +  b2  =  (a  +  b)2
Trinomio cuadrado perfecto a2 - 2ab  +  b2  =  (a  +  b)2
Suma de cubos a3  +  b3  =  (a  +  b) (a -  ab  +  b2)
Diferencia de cubos a3  -  b =  (a  -  b) (a2  +  ab  +  b2)
  a3  +  3a2b  +  3ab2  +  b3  =  (a  +  b)3
  a3  -  3a2b  +  3ab2  -  b3  =  (a -  b)3