Inecuaciones irracionales

Una inecuación con radicales o irracional cuando tiene la variable dentro del signo radical.

Ejemplos de inecuaciones con radicales

Se tienen que cumplir las siguientes dos condiciones:

3x² - 17x + 10 ≥ 0 y

El grado del radical es par, por tanto, su argumento deberá ser un número real positivo:

3x² - 17x + 10 ≥ 0

Para ver cuándo esta inecuación es mayor o igual que 0, la factorizamos y estudiamos su signo:

3x² - 17x + 10 ≥ 0

solucion_ec2grado

Luego: 3 (x - 5)(x - 2/3) ≥ 0

Estudiamos el signo de la inecuación en los intervalos: (-∞ , 2/3) , (2/3 , 5) , (5 , ∞)

• (-∞ , 2/3): x = 0 ⇒ (x - 5)(x - 2/3) = (- 5)(- 2/3) > 0

• (2/3 , 5): x = 1 ⇒ (x - 5)(x - 2/3) = (1 - 5)(1 - 2/3) < 0

• (5 , ∞): x = 6 ⇒ (x - 5)(x - 2/3) = (6 - 5)(6 - 2/3) > 0

(- ∞, 2/3)	(2/3 , 5)	(5 , ∞)
+	-	+

El conjunto de soluciones de esta condición es: (-∞ , 2/3] ∪ [5 , ∞)

Incluimos los valores x = 2/3 y x = 5 , ya que la inecuación tiene que ser mayor o igual que cero.

Por otro lado, tenemos la condición del enunciado, de la que tenemos que despejar la variable x:

Factorizamos la inecuación:

3x² - 17x - 6 = 0

solucion_ec2grado

Luego: 3 (x - 6)(x + 1/3) ≤ 0

Estudiamos el signo de la inecuación en los intervalos: (-∞ , - 1/3) , (- 1/3 , 6) , (6 , ∞)

Para ello, sustituimos por cualquier valor del intervalo:

• (-∞ , - 1/3): x = - 1 ⇒ (x - 6)(x + 1/3) = (- 1 - 6)(- 1 + 1/3) > 0

• (- 1/3 , 6): x = 0 ⇒ (x - 6)(x + 1/3) = (- 6)(1/3) < 0

• (6 , ∞): x = 7 ⇒ (x - 6)(x + 1/3 = (7 - 6)(7 + 1/3) > 0

(- ∞, - 1/3)	(- 1/3 , 6)	(6 , ∞)
+	-	+

El conjunto de soluciones de esta condición es: [- 1/3 , 6]

Incluimos los valores x = - 1/3 y x = 6 , ya que la inecuación tiene que ser menor o igual que cero.

El conjunto de soluciones de la inecuación irraciones será la intersección de los dos conjuntos hallados:

S = { (-∞ , 2/3] ∪ [5 , ∞) } ∩ [- 1/3 , 6] = [- 1/3 , 2/3] ∪ [5 , 6]