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funcion_racional

Las funciones racionales del tipo:

funcion_racional

son funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de segundo grado y su numerador es un número real.


Las características generales de este tipo de funciones racionales son:


1) El dominio está formado por todos los valores reales que no anulan el denominador:


            Dom(f) = R - {a}


2) El recorrido depende del signo de la constante  k :


      •   Si   k > 0     ⇒     Im(f) = (0 , ∞)


      •   Si   k < 0     ⇒     Im(f) = (-∞ , 0)


3) No cortan al eje X (abscisas), y cortan al eje Y (ordenadas) en el punto:


            punto_de_corte


4) Son discontinuas en el punto de abscisa:   x = a .


5) La acotación depende del signo de la constante  k :


      •   Si   k > 0 :     están acotadas inferiormente por y = 0 .


      •   Si   k < 0 :     están acotadas superiormente por y = 0 .


      En cualquier caso, la función no está acotada, pues no está acotada, a la vez, superior e inferiormente.


6) Su simetría depende del valor de la constante  a :


      •   Si   a = 0 :     tiene simetría par.


      •   Si   a ≠ 0 :     no tiene simetría par ni impar.


7) Su monotonía depende del valor de la constante  k :


      •   Si   k > 0 :     f(x) es estrictamente creciente en (-∞ , a)

                               f(x) es estrictamente decreciente en (a , ∞).


      •   Si   k < 0 :     f(x) es estrictamente decreciente en (-∞ , a)

                               f(x) es estrictamente creciente en (a , ∞).


8) No son periódicas.


9) No tienen extremos relativos.


Ejemplos de función del tipo:     k / (x - a)2

Estudiar las características de la siguiente función:


      funcion racional


1) Los valores que anulan al denominador son:


         (x - 1)2 = 0     ⇔     x - 1 = 0     ⇔     x = 1


          Dom(f) = R - {1}


2) Como   k = 3 > 0 :     Im(f) = (0 , ∞)


3) Corta al eje de ordenadas en el punto :


          k = 3  ,  a = 1     ⇒     (0 , 3)


4) Es discontinua en el punto :     x = 1


5) Como  k = 3 > 0 :     está acotada inferiormente por   y = 0 .


6) Como  a ≠ 0 :     no tiene simetría par ni impar.


7) Como  k > 0 :


         La función es estrictamente creciente en   (-∞ , 1).


         La función es estrictamente decreciente en   (1 , ∞).


8) No tiene periodicidad.


9) No tiene extremos relativos.

10) Tabla de valores:


      tabla_de_valores




grafica_funcion



      funcion racional


1) Los valores que anulan al denominador son:


         (x - 3)2 = 0     ⇔     x - 3 = 0     ⇔     x = 3


          Dom(f) = R - {3}


2) Como   k = - 4 < 0 :     Im(f) = (-∞, 0)


3) Corta al eje de ordenadas en el punto :


          k = - 4  ,  a = 3     ⇒     (0 , -4/9)


4) Es discontinua en el punto :     x = 3


5) Como  k = - 4 < 0 :     está acotada superiormente por   y = 0 .


6) Como  a ≠ 0 :     no tiene simetría par ni impar.


7) Como  k < 0 :


         La función es estrictamente decreciente en   (-∞ , 3).


         La función es estrictamente creciente en   (3 , ∞).


8) No tiene periodicidad.


9) No tiene extremos relativos.

funcion racional

Estudio completo de funciones.

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