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Interpretación geométrica de la derivada

Pendiente de una recta

Recordamos primero que la pendiente de una recta dada es el cociente:

grafica pendiente recta




pendiente recta

Si hacemos   b = a + h   obtenemos la siguiente expresión:

grafica recta pendiente




pendiente tangente

Pendiente de una curva en un punto   P(a, f(a))

La pendiente de una curva en un punto   P(a, f(a))   se define como la pendiente de la recta que más se acerca a la curva en dicho punto.

A esta recta se le llama tangente a la curva en P.

grafica pendiente punto




recta pendiente punto

Geométricamente la derivada    f '(a)    es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto P(a, f(a)).


La pendiente de la gráfica de una función lineal

Encontrar la pendiente de la gráfica   f(x) = 3x - 5   en el punto   (2, 1) .

pendiente funcion lineal

pendiente funcion lineal

pendiente funcion lineal

pendiente funcion lineal


La pendiente de la función en el punto   P(2,1)   es   m = 3 .

Rectas tangentes a la gráfica de una función no lineal

Calcula las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la función   f(x) = x2 - 1   en los puntos   (2, 3)   y   (0, -1) .



grafica pendiente funcion no lineal

recta tangente funcion no lineal

recta tangente funcion no lineal

recta tangente funcion no lineal

recta tangente funcion no lineal

recta tangente funcion no lineal


Tangentes verticales

Si una función   f(x)   es continua en el punto   P(a, f(a))   si:

          tangente vertical

entonces la recta vertical   x = a   es tangente vertical a la gráfica de   y = f(x)   en el punto   P .


Si aparte de que el resultado sea    ±∞    el límite del cociente no existe, la gráfica   y = f(x)   no tiene tangente en el punto   P .

Ejemplo de recta tangente vertical

grafica tangente vertical





La función   f(x)   tiene una recta tangente vertical en el punto   (2, 3)   que corresponde con  x = 2 .

Ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto    P(a, f(a))    es:

          definicion derivada tangente

La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto    P(a, f(a))    es la recta perpendicular a la recta tangente, siendo su ecuación:

          ecuacion recta normal


          recta tangente recta normal

Cálculo de la recta tangente y normal a una curva

1)   Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva   f(x) = x2 - 4   en el punto   (1, -3) .




grafica recta tangente normal

ejemplo recta tangente

ejemplo recta tangente

ejemplo recta tangente

ejemplo recta tangente

ejemplo recta tangente

La ecuación de la recta tangente es:

recta tangente


recta tangente


recta tangente


recta tangente

Y la ecuación de la recta normal:

recta normal

recta normal

recta normal

recta normal

2)   Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva   f(x) = -6/x    en el punto   (-2, 3) .

grafica recta tangente normal


recta tangente normal

recta tangente normal

recta tangente normal

La ecuación de la recta tangente es:

recta tangente


recta tangente


recta tangente


recta tangente

Y la ecuación de la recta normal:

recta normal

recta normal

recta normal

recta normal

izquierda
         arriba
derecha