INICIOAproximación lineal de una función en un punto
Si y = f(x) es una función derivable en x = a , entonces L(x) = f(a) + f '(a)·(x - a) es la aproximación lineal de la función f en a.
Ejemplo de aproximación lineal:
Utilizando la definición anterior de aproximación lineal, estimar el valor de:
Compáralo con el valor obtenido en la calculadora.
Tomamos la función f(x) = √x y consideramos la aproximación lineal de la función f para a = 9 .
Derivamos la función f para obtener la función L(x) :
Por lo tanto, tenemos que:
Si realizamos la operación con la calculadora el resultado es 3,00009999 .
Diferencial de una función
Sea y = f(x) una función derivable en un punto x = a . Se llama diferencial de la función f(x) en el punto x = a al producto de la derivada de la función en el punto x = a por la variación de x . Este resultado se expresa de la siguiente forma:
Ejemplos de diferencial de una función:
1) Suponngamos que queremos calcular de manera aproximada cuanto aumenta el lado de un cuadrado cuando su área pasa de 4 metros cuadrados a 4,1 metros cuadrados.
Si x representa el área del cuadrado e y es la medida de su lado, entonces y = √x .
Para calcular la variación del lado, utilizamos la fórmula del diferencial de la función.
Por lo tanto, si el área aumenta de 4 a 4,1 metros cuadrados, el lado del cuadrado pasa de 2 a 2,025 metros.
2) ¿Qué aumento experimenta el volumen de un cubo de 1 m. de lado cuando por dilatación, este experimenta un aumento de 1 mm.?
La fórmula del volúmen del cubo es: V = a 3
Si derivamos resulta: dV = 3a2 · da = 3 ·12 · 0,001 = 0,003 m3
Es decir, cuando lado aumenta 1 milímetro, el volúmen aumenta 0,003 metros cúbicos.
Determinación de diferenciales
Diferencial de una función compuesta
Calcula el diferencial de la siguiente función:
