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Ejercicios de composición de funciones

Dadas las funciones:


                       funciones

Calcula las composiciones de funciones siguientes, y calcula el valor de cada composición para x = 0.


1)   f o g


2)   g o f


3)   f o h


4)   h o f


5)   g o h


6)   h o g


Comprueba que la composición de funciones no es conmutativa.


solucion_composicion


solucion_composicion


(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)  ,  la composición no es conmutativa.



solucion composicion


solucion_composicion


(f o h)(x) ≠ (h o f)(x)  ,  la composición no es conmutativa.



solucion_composicion


solucion_composicion


(g o h)(x) = (h o g)(x)  ,  en este caso, la composición sí es conmutativa. Pero hemos visto que, en general, no tiene por qué serlo.

Dadas las funciones:


                       composicion

Calcula las composiciones de funciones siguientes:


1)   f o g


2)   g o f


3)   f o h


4)   h o f


5)   g o h


6)   h o g


 


composicion


composicion


composicion


composicion


composicion


composicion


Dadas las funciones:


                       funciones

Calcula:    (f o g)(x)   y   (g o f)(x)

Comprueba que la composición de funciones no es conmutativa.


solucion_composicion


solucion_composicion


(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)  ,  la composición no es conmutativa.

Dadas las funciones:


                       funciones

Calcular:


1)     (f o g)(x)  y su dominio.


2)     (g o f)(x)  y su dominio.


solucion_composicion


solucion_composicion


solucion_composicion


Dom(g) = R - {3}


Observamos que:     2x - 5 = 0     ⇔     x = 5/2


Dom(f o g) = { x∈Dom(g) | g(x)∈Dom(f) } = R - {3, 5/2}


La intersección de los dos dominios es el dominio de la composición.


solucion_composicion


solucion_composicion


solucion_composicion


Dom(f) = R - {1}


Observamos que:     2x - 8 = 0     ⇔     x = 4


Dom(g o f) = { x∈Dom(f) | f(x)∈Dom(g) } = R - {1, 4}


La intersección de los dos dominios es el dominio de la composición.


Dadas las funciones:


                       composicion

Calcular:


1)     (f o g)(x)  y su dominio.


2)     (g o f)(x)  y su dominio.


composicion


composicion


 

composicion

La raíz está definida siempre que el radicando sea positivo o cero:


Dom(g) = [2, +∞)


La fracción está definida para   x - 11 ≠ 0


Observamos que:     x - 11 = 0     ⇔     x = 11


Además se debe cumplir que:     x ≥ 2


Dom(f o g) = { x∈Dom(g) | g(x)∈Dom(f) } = [2, 11) ∪ (11, + ∞)


La intersección de los dos dominios es el dominio de la composición.


composicion


composicion


La fracción está definida para   x - 3 ≠ 0


Dom(f) = R - {3}


En la composición observamos que se debe cumplir que:


radicando


Sustituimos un valor en cada intervalo:


(- ∞, 3)      para   x = 0         - 8/3 < 0


(3, 8]          para x = 4                   4 > 0


[8, + ∞)      para x = 9            - 1/3 < 0


Es decir, está definida en el intervalo   (3, 8]


Dom(g o f) = { x∈Dom(f) | f(x)∈Dom(g) } = (3, 8]


La intersección de los dos dominios es el dominio de la composición.


Dadas las funciones:


                       funciones

Calcula    (f o g)(x)


Para x ≤ 0 :


solucion_composicion


Para x > 0 :


solucion_composicion


solucion_composicion


Por tanto:


                        solucion_composicion

Dadas las funciones     f(x) = 3x - 7  ,  g(x) = 2x + k     determinar   k  para que:     (f o g)(x) = (g o f)(x)



(f o g)(x) = f[ g(x) ] = f[ 2x + k ] = 3(2x + k) - 7 = 6x + 3k - 7


(g o f)(x) = g[ f(x) ] = g[ 3x - 7 ] = 2(3x - 7) + k = 6x - 14 + k



Queremos que  (f o g)(x) = (g o f)(x), así que igualamos ambos resultados:


            6x + 3k - 7 = 6x - 14 + k


Despejamos la variable k:


6x + 3k - 7 = 6x - 14 + k     ⇔     6x + 3k - 7 = 6x - 14 + k     ⇔     3k - k = - 14 + 7     ⇔     2k = - 7     ⇔     k = - 7/2



Por tanto, las composiciones  (f o g)  y  (g o f)  serán conmutativas si k = - 7/2.

Expresar esta función como composición de otras funciones más sencillas:


                       composicion


Primero se divide la función en funciones más sencillas:


f1(x) = x3 - 2


f2(x) = ln x


f3(x) = sen x


En segundo lugar se componen las funciones para comprobar que el restultado:


composicion