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Matriz inversa

Para los números reales sabemos que existe un elemento neutro para el producto, el 1, de manera que si a es un real no nulo, existe un único número real    b   de manera que     a · b = b · a = 1.

Por otra parte, sabemos que para el producto de matrices cuadradas de orden n, el elemento neutro es la matriz In. Es natural plantearse la siguiente pregunta:

¿Dada una matriz A de orden n existirá siempre una matriz B tal que    A · B = B · A = In?

Respuesta: No siempre existe la matriz inversa, pero en caso de existir es única.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamaremos matriz inversa de A y representaremos por A-1 a la matriz de orden n que verifica:

                            A · A-1 = A-1 · A = In

donde In representa a la matriz identidad de orden n.

Si A tiene inversa se dice que A es inversible o regular.

Si no existe A-1 se dice que A es no inversible o singular.

Ejemplo:

Propiedades de la inversión de matrices

Si A y B son dos matrices de orden n inversibles se verifican las siguientes propiedades

  1. A-1 es inversible y (A-1)-1 = A

  2. A · B es inversible y su inversa es (A · B)-1 = B-1 · A-1

  3. At es inversible y (At)-1 = (A-1)t

Cálculo de la matriz inversa por definición

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa por definición:

Calcular la matriz inversa de A y comprobar que lo es multiplicándola por la dada.

Nuestra candidata a matriz inversa es la matriz B. Comprobamos que efectivamente es la inversa de A:

Por tanto    B    es la inversa de    A, de manera que     A-1 = B.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan permite hallar la inversa de una matriz realizando transformaciones elementales:

Para aplicar el método procedemos como sigue:

  1. Partimos de una matriz formada por A y una matriz identidad del mismo orden que A. Esta matriz recibe el nombre de matriz ampliada y se simboliza por     ( A | I ) :

  2. Aplicamos transformaciones elementales hasta llegar a una matriz ampliada     ( I | B) :

  3. La matriz B (en caso de poder llegar a la matriz ampliada    (I | B)    mediante transformaciones elementales) resulta ser A-1

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan:

Calcular la matriz inversa de:

por el método de Gauss-Jordan


de manera que existe     A-1     siendo:

izquierda
         arriba
derecha