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Problemas que se resuelven con sistemas de inecuaciones

Se tiene un número de dos cifras, el doble de las cifras de las decenas restado a las cifras de las unidades es mayor que 5 y la diferencia entre 14 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es menor que 112. ¿Cuál es el número?


Sea x el número de decenas, e y el número de unidades.


El doble de   x   restado a   y   es mayor que 5:     y - 2x > 5


La diferencia entre 14 veces  y,  y  x , es menor que 112:     14y - x < 112


Sistema_inecuaciones


Multiplicamos la segunda inecuación por (-14). Al multiplicar por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido:


Sistema_inecuaciones


Sumamos ambas inecuaciones y despejamos x:


Sistema_inecuaciones


La incógnita x tiene que ser una cifra, es decir, un número natural comprendido entre 1 y 9, pero no puede ser 0, ya que el número que buscamos tiene decenas.


             x es un natural tal que:      1 ≤ x ≤ 9    ,    x < 1,55     ⇒     x = 1


            Si    x = 1     ⇒     y - 2x > 5     ⇒     y - 2 > 5     y > 7


                                ⇒     14y - x < 112     ⇒     14y - 1 < 112     ⇒     y < 8,07


La incógnita y tiene que ser una cifra, es decir, un número natural comprendido entre 0 y 9.


             y es un natural tal que:      0 ≤ y ≤ 9    ,    7 < y < 8,07     ⇒     y = 8


Por tanto, el número buscado es:     18


La edad de un padre es menor que el triple de la edad de su hijo, y hace 5 años, la edad del padre era mayor que el doble de la de su hijo. ¿Entre qué años está comprendida la edad del hijo, sabiendo que la suma de edades es 40 años?


Sea  y  la edad del padre, y   x  la del hijo.


Según el problema, y es menor que el triple de x, luego:     y < 3x


Por tanto, hace 5 años, las edades del padre y del hijo eran, respectivamente:      y - 5  ,  x - 5


Y 5 años antes, la edad del padre era mayor que el doble de la de su hijo, luego:     y - 5 > 2(x - 5)


Sistema_inecuaciones


Además, la suma de sus edades es 40:     x + y = 40     ⇔     y = 40 - x


Sustituimos en las inecuaciones anteriores:


            y < 3x     ⇒     40 - x < 3x     ⇒     40 < 4x     ⇒     10 < x


            y - 5 > 2(x - 5)     ⇒     40 - x - 5 > 2x - 10     ⇒     45 > 3x      ⇒     15 > x


Luego la edad del hijo estará en el intervalo:     (10 , 15)

Representar el conjunto de pares de números cuyo producto sea positivo y su suma menor que 3.


Sean  x  e  y  dichos números.


Si su producto tiene que ser positivo tenemos la inecuación:     x · y > 0


Además su suma tiene que ser menor que 3, luego:     x + y < 3


Sistema_inecuaciones


La primera inecuación será cierta en los siguientes casos:


•  x > 0    ,    y > 0   :     El producto de números positivos es positivo.


                                     Son los valores del primer cuadrante del eje de coordenadas.


•  x < 0    ,    y < 0   :     El producto de dos números negativos es positivo.


                                     Son los valores del tercer cuadrante del eje de coordenadas.


Solucion_inecuacion

Resolvemos la segunda inecuación:


x + y = 3     ⇔     y = 3 - x


Puntos de corte de la recta con los ejes:


x = 0     ⇒     y = 3 - x = 3     ⇒     A = (0 , 3)


y = 0     ⇒     0 = 3 - x     ⇒     x = 3     ⇒     B = (3 , 0)


Probamos con puntos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la inecuación:


(0 , 0)     ,     x + y < 3     ⇒     0 < 3


tabla_de_valores


Solucion_inecuacion


El conjunto de soluciones del sistema estará formado por aquellos valores de x que cumplan ambas inecuaciones, por tanto, la solución será la intersección de ambos planos:


Solucion_sistema