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Problemas resueltos de contrastes de hipótesis para la proporción.

1)    En los últimos meses, una cadena comercial ha intentado potenciar con precios más atractivos y publicidad la venta de productos con la marca genérica de la cadena, frente a los de otras marcas más conocidas por los consumidores. Antes, un  15 %  de los productos que vendía eran de la marca de la cadena. Recientemente, en una muestra de  200  productos vendidos,  36  eran de dicha marca.
Plantea un test para contrastar que las medidas no han surtido efecto frente a que sí lo han hecho, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega con una signifcación del  10 % ?

2)    Hace  10  años, se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el  40 %  de los estudiantes universitarios eran fumadores. Para ver si actualmente se mantienen las mismas conclusiones, se tomó una muestra de  78  estudiantes entre los que 38 eran fumadores.
Con un nivel de significación del  10 %,  ¿se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios es menor o igual que el  40% ?

3)    De una muestra aleatoria de  225  habitantes de una población, hay  18  que hablan alemán. A un nivel de significación de  0,05,  ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación de que al menos el  10 %  de los habitantes de la población hablan alemán?

4)    Se afirma que, en una determinada ciudad, al menos el  30 %  de las familias poseen ordenador. Se toma una muestra aleatoria de 200 familias de la ciudad y resulta que  50  poseen ordenador. A un nivel de significación de  0,05,  ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación?

5)    En el año  2005,  un estudio indicaba que un  15 %  de los conductores utilizaban el móvil con el vehículo en marcha.
Con el fin de investigar la efectividad de las campañas que se han realizado desde entonces para reducir esos hábitos, se ha hecho una encuesta a  120  conductores de los cuales  12  hacían un uso indebido del móvil.
Plantea un test para contrastar que las campañas no han cumplido su objetivo frente a que sí lo han hecho, como parecen indicar los datos.
¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del  4 % ?

1)    En los últimos meses, una cadena comercial ha intentado potenciar con precios más atractivos y publicidad la venta de productos con la marca genérica de la cadena, frente a los de otras marcas más conocidas por los consumidores. Antes, un  15 %  de los productos que vendía eran de la marca de la cadena. Recientemente, en una muestra de  200  productos vendidos,  36  eran de dicha marca.
Plantea un test para contrastar que las medidas no han surtido efecto frente a que sí lo han hecho, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega con una signifcación del  10 % ?


1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

Hipótesis nula :                H0 :     p = 0,15
Hipótesis alternativa :        H1 :    p ≠ 0,15

Se trata de un contraste bilateral porque  H está enunciada en términos de igualdad.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución en la proporción, con p = 0,15 y un tamaño de muestra n = 200. La proporción se distribuye :

         

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

A partir de un nivel de significación de  α = 0,10  vamos a contruir nuestras regiones.
El nivel de confianza es  1 - α = 0,90  y la zona de aceptación se corresponde con el intervalo :

 

4.  Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

5.  Interpretación de la decisión.

Como la proporción muestral pertenece a mi región de aceptación, podemos aceptar que las medidas no han surtido efecto con un nivel de significación del 10 % o un nivel de confianza del 90 %.
Aceptamos por tanto nuestra hipótesis nula.

2)    Hace  10  años, se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el  40 %  de los estudiantes universitarios eran fumadores. Para ver si actualmente se mantienen las mismas conclusiones, se tomó una muestra de  78  estudiantes entre los que 38 eran fumadores.
Con un nivel de significación del  10 %,  ¿se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios es menor o igual que el  40% ?


1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

Hipótesis nula :                  H0  :    p ≤ 0,4
Hipótesis alternativa :         H1  :    p > 0,4
Nuestra hipótesis nula está enunciada en forma de inecuación, por lo que tendremos un contraste unilateal.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la proporción, con p = 0,4 y una muestra de tamaño n = 78, cuya distribución es la siguiente :

         

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

A partir de un nivel de significación  α = 0,10  y con un nivel de confianza de  1 - α = 0,9  contruimos nuestra región de aceptación. Como es un contraste unilateral, emplearemos   zα :

          

4.  Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

5.  Interpretación de la decisión.

Dado que el estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación, rechazamos nuestra hipótesis nula.
Se acepta que el porcentaje de fumadores universitarios ha aumentado.

3)    De una muestra aleatoria de  225  habitantes de una población, hay  18  que hablan alemán. A un nivel de significación de  0,05,  ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación de que al menos el  10 %  de los habitantes de la población hablan alemán?


1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

Hipótesis nula :               H0  :    p ≥ 0,1
Hipótesis alternativa :      H1  :    p < 0,1
Tenemos un contraste unilateral, ya que nuestra hipótesis nula  H está enunciada en forma de inecuación.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la proporción, cuya  p = 0,1  y el tamaño de la muestra es  n = 225.  La distribución se corresponde con :

         

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

A partir de un nivel de significación  α = 0,05  y con un nivel de confianza de  1 - α = 0,95  contruimos nuestra región de aceptación. Como es un contraste unilateral, emplearemos   zα :

        

4.  Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

5.  Interpretación de la decisión.

En este caso nuestro estadístico de contraste sí pertenece a la región de aceptación, por lo que aceptamos nuestra hipótesis nula.
No podemos refutar la afirmación de que al menmos el  10 %  de los habitantes habla alemán.

4)    Se afirma que, en una determinada ciudad, al menos el  30 %  de las familias poseen ordenador. Se toma una muestra aleatoria de 200 familias de la ciudad y resulta que  50  poseen ordenador. A un nivel de significación de  0,05,  ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación?


1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

Hipótesis nula :                 H0  :    p ≥ 0,30
Hipótesis alternativa :        H1  :    p < 0,30
Nuestra hipótesis nula está formulada como una inecuación, por lo que tenemos un contraste unilateral.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la proporción, con una muestra de tamaño n = 200 y cuya p = 0,3. La distribución correspondiente es :

         

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

Tenemos un nivel de significación α = 0,05 y dado que trabajamos con un contraste unilateral, emplearemos zα. Nuestra región de aceptación sería la siguiente :

        

4.  Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

5.  Interpretación de la decisión.

En este caso, el estadístico de contraste pertenece a la región de aceptación, por lo que aceptamos la hipótesis nula.
Aceptamos por lo tanto que al menos el  30 %  de las familias posee ordenador.

5)    En el año  2005,  un estudio indicaba que un  15 %  de los conductores utilizaban el móvil con el vehículo en marcha.
Con el fin de investigar la efectividad de las campañas que se han realizado desde entonces para reducir esos hábitos, se ha hecho una encuesta a  120  conductores de los cuales  12  hacían un uso indebido del móvil.
Plantea un test para contrastar que las campañas no han cumplido su objetivo frente a que sí lo han hecho, como parecen indicar los datos.
¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del  4 % ?


1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

Hipótesis nula :               H0  :    p ≥ 0,15
Hipótesis alternativa :      H :    p < 0,15
Tenemos un contraste unilateral ya que nuestra hipótesis nula está formulada en forma de inecuación.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Como  n = 120 > 30  podemos afirmar que nuestra muestra sigue una distribución de la proporción, con  p = 0,15  y cuya distribución sería la siguiente :

         

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

Para construir nuestra región de aceptación partimos de un nivel de significación de  α = 0,04.  Por ser un contraste unilateral, emplearemos  zα.  La región de aceptación se corresponde con el intervalo siguiente :

         

4.  Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

Para nuestra muestra de tamaño  n = 120  emplearemos como estadístico de contraste la proporción de de conductores que hacían uso indebido del móvil. Es decir :



0,1 ∈ ( 0,093 ; + ∞ )    ⇒    Nuestro estadístico de contraste pertenece a la región de aceptación.

5.  Interpretación de la decisión.

Dado que nuestro estadístico de contraste pertenece a la región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula.
Según estos datos, las campañas no han sido efectivas para un nivel de significación del  4 %.