INICIOProblemas resueltos de contrastes de hipótesis para la media.
1) Los depósitos mensuales, en euros, en una entidad bancaria, siguen una distribución normal de media μ y de desviación típica σ = 5,1. Con el fin de contrastar si la media de los depósitos mensuales es 20 €, se toma una muestra de tamaño 16, resultando ser la media muestral 22,40 €. ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la media es 20 a un nivel de significación del 5 %?
2) La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas.
Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una media de 750 horas.
Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?
3) Un laboratorio afirma que un calmante quita la jaqueca en 14 minutos en los casos corrientes. Con el fin de comprobar esta información, se eligen al azar 30 pacientes con jaqueca y se toma como variable en el experimento el tiempo que transcurre entre la administración del calmante y el momento en que desaparece la jaqueca. Los resultados obtenidos en esta muestra fueron, media 17 minutos y desviación típica 7 minutos. ¿Podemos admitir como cierta la afirmación del laboratorio a un nivel de confianza del 95 % ?
4) Se ha comprobado que el tiempo de espera ( en minutos ) hasta ser atendido, en cierto servicio de urgencias, sigue un modelo normal de probabilidad.
A partir de una muestra de 100 personas que fueron atendidas en dicho servicio, se ha calculado un tiempo medio de espera de 14,25 minutos y una desviación típica de 2,5 minutos.
a) ¿Podríamos afirmar, con un nivel de significación del 5 % que el tiempo medio de espera, en este servicio de urgencias, no es de 15 minutos?
b) ¿Qué podríamos concluir si el nivel de significación hubiese sido del 0,1 % ?
c) ¿Existe contradicción en ambas situaciones?
5) Una encuesta, realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de 6,5 años, con una desviación típica de 4.
¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5 %, que el tiempo medio de empleo en esta fábrica es menor o igual que 6?
1) Los depósitos mensuales, en euros, en una entidad bancaria, siguen una distribución normal de media μ y de desviación típica σ = 5,1. Con el fin de contrastar si la media de los depósitos mensuales es 20 €, se toma una muestra de tamaño 16, resultando ser la media muestral 22,40 €. ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la media es 20 a un nivel de significación del 5 %?
1. Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.
Hipótesis nula : H0 : μ = 20
Hipótesis alternativa : H1 : μ ≠ 20
Se trata de un contraste bilateral porque H0 está enunciada en términos de igualdad.
Si la hipótesis nula es cierta, la media de la población de partida será μ = 20. Se considera que la diferencia entre el verdadero valor de la media y su valor hipotético es nula.
2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.
Por el enunciado sabemos que la población inicial sigue una distribución normal. El tamaño de la muestra es n = 16. La media muestral se distribuye :
3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.
A partir de un nivel de significación de α = 0,05 vamos a contruir nuestras regiones.
El nivel de confianza es 1 - α = 0,95 y la zona de aceptación se corresponde con el intervalo :
4. Calcular el estadístico de contraste y verificar la hipótesis.
En este caso, el estadístico se encuentra en la región de aceptación.
5. Interpretación de la decisión.
Como la media muestral pertenece a mi región de aceptación, podemos aceptar que el depósito mensual es de 20 € con un nivel de significación del 5 % o un nivel de confianza del 95 %.
Aceptamos por tanto nuestra hipótesis nula.
2) La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas.
Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una media de 750 horas.
Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?
1. Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.
Hipótesis nula : H0 : μ ≥ 800
Hipótesis alternativa: H1 : μ < 800
Se trata de un contraste unilateral porque H0 está enunciada como una incecuación.
Si la hipótesis nula es cierta, la media de la población de partida será μ ≥ 800. Se considera que la diferencia entre el verdadero valor de la media y su valor hipotético es nula.
2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.
Por el enunciado sabemos que la población inicial sigue una distribución normal. El tamaño de la muestra es n = 50. La media muestral se distribuye :
3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.
A partir de un nivel de significación de α = 0,01 vamos a contruir nuestras regiones.
El nivel de confianza es 1 - α = 0,99 y la zona de aceptación se corresponde con el intervalo :
4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.
5. Interpretación de la decisión.
Como la media muestral no pertenece a mi región de aceptación, tenemos que rechazar el lote, con un nivel de significación del 1 % o un nivel de confianza del 99 %.
Rechazamos por tanto nuestra hipótesis nula.
3) Un laboratorio afirma que un calmante quita la jaqueca en 14 minutos en los casos corrientes. Con el fin de comprobar esta información, se eligen al azar 30 pacientes con jaqueca y se toma como variable en el experimento el tiempo que transcurre entre la administración del calmante y el momento en que desaparece la jaqueca. Los resultados obtenidos en esta muestra fueron, media 17 minutos y desviación típica 7 minutos. ¿Podemos admitir como cierta la afirmación del laboratorio a un nivel de confianza del 95 % ?
1. Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.
Hipótesis nula : H1 : μ ≤ 14
Hipótesis alternativa : H0 : μ > 14
Se trata de un contraste unilateral porque H0 está enunciada como una incecuación.
Si la hipótesis nula es cierta, la media de la población de partida será μ ≤ 14. Se considera que la diferencia entre el verdadero valor de la media y su valor hipotético es nula.
2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.
La muestra sigue una distribución cuya media es μ = 17 y desviación típica σ = 7. El tamaño de la muestra es n= 30. La media muestral sigue una distribución normal :
3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.
El nivel de confianza es 1 - α = 0,95 , el nivel de significación es 0,05 y la zona de aceptación se corresponde con el intervalo :
4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.
5. Interpretación de la decisión.
Como la media muestral no pertenece a mi región de aceptación, no podemos mantener dicha afirmación, con un nivel de significación del 5 % o un nivel de confianza del 95 %.
Rechazamos por tanto nuestra hipótesis nula.
4) Se ha comprobado que el tiempo de espera ( en minutos ) hasta ser atendido, en cierto servicio de urgencias, sigue un modelo normal de probabilidad.
A partir de una muestra de 100 personas que fueron atendidas en dicho servicio, se ha calculado un tiempo medio de espera de 14,25 minutos y una desviación típica de 2,5 minutos.
a) ¿Podríamos afirmar, con un nivel de significación del 5 % que el tiempo medio de espera, en este servicio de urgencias, no es de 15 minutos?
b) ¿Qué podríamos concluir si el nivel de significación hubiese sido del 0,1 % ?
c) ¿Existe contradicción en ambas situaciones?
a)
1. Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.
Hipótesis nula : H0 : μ = 15
Hipótesis alternativa : H1 : μ ≠ 15
Puesto que nuestra hipótesis nula está formulada en forma de igualdad, tenemos un contraste bilateral.
2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.
Por el enunciado sabemos que la población sigue una distribución normal. Tomamos una muestra de tamaño n = 100 con una media μ = 14,25 y desviación típìca σ = 2,5. La muestra se distribuye :
3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.
Construimos nuestra región de aceptación a partir de un nivel de significación α = 0,05. Como es un contraste bilateral, emplearemos zα/2 :
4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.
Nuestro estadístico de contraste es el tiempo de media de espera en urgencias, μ = 14,25.
En este caso, 14,25 ∉ ( 14,51 ; 15,49 ).
Nuestro estadístico de contraste no pertenece a la región de aceptación.
5. Interpretación de la decisión.
Como nuestro estadístico de contraste no pertenece a la región de aceptación, rechazamos la hipótesis nula.
Por lo tanto, no podemos aceptar que el tiempo medio de espera sea de 15 minutos.
b)
c)
No existe contradicción. En el apartado b el riesgo asumido es muy reducido, mientras que en el apartado a es mayor y por tanto el intervalo es más amplio.
5) Una encuesta, realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de 6,5 años, con una desviación típica de 4.
¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5 %, que el tiempo medio de empleo en esta fábrica es menor o igual que 6?
1. Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.
Hipótesis nula : H0 : μ ≤ 6
Hipótesis alternativa : H1 : μ > 6
Tenemos un contraste unilateral, ya que nuestra hipótesis nula está expresada en forma de ecuación.
2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.
No conocemos la distribución de la población, pero dado que la muestra es n = 64 > 30, con media 6,5 y desviación típica 4, podemos concluir que sigue la siguiente distribución :
3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.
Partimos de un nivel de significación α = 0,05 y, dado que tenemos un contraste unilateral, emplearemos zα. La región de aceptación sería :
4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.
El estadístico de contraste que vamos a emplear es la media de duración del empleo en la muestra, es decir, μ = 6,5
6,5 ∈ ( - ∞ ; 6,8225 ) ⇒ El estadístico de contraste pertenece a la región de aceptación.
5. Interpretación de la decisión.
Como el estadístico de contraste pertenece a nuestra región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula.
Podemos aceptar que el tiempo medio de duración del empleo es igual o menos a 6 años.