INICIOContinuidad en un intervalo
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y además:
La función f(x) es continua por la derecha en el punto a y continua por la izquierda en el punto b .
Estudia la continuidad de la siguiente función:
Como 9 - x2 ≥ 0 cuando x2 ≤ 9 , es decir, cuando |x| ≤ 3 tenemos que:
Dom(f) = [- 3, 3] .
Además, ocurre que:
Por tanto, tenemos que:
f(x) es continua en el intervalo (-3, 3) y además es continua en x = -3+ y en x = 3 - , por lo que se puede concluir que la función es continua en el intervalo cerrado [-3, 3] .
SELECTIVIDAD
Estudia la continuidad en el intervalo [0 , 4] de la siguiente función:
Las funciones que definen a f son funciones polinómicas, por lo que son continuas en todo R , en particular, lo son en (0 , 1) y (1 , 4) respectivamente.
Por tanto, la función f es continua en los intervalos: (0 , 1) ∪ (1 , 4)
Estudiamos la continuidad en el punto de unión: x = 1
f(1) = 13 - 6·12 + 9·1 + 1 = 5
Como los límites laterales coinciden, el límie cuando x → 1 existe y vale:
Se cumple la condición de continuidad en un punto:
Luego la función es continua también en 1, y por tanto, es continua en todo el intervalo: (0 , 4)
También se puede incluir la continuidad en intervalos de la forma (a, b] y [a, b) que no son abiertos ni cerrados o infinitos, como por ejemplo:
La función f(x) es continua en el intervalo [-1, +∞) .
La función g(x) es continua en el intervalo (-∞, 1] .
