Problemas y ejercicios de interpolación y extrapolación
Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1 , 0) , (4 , 2) . Interpola el valor a = 1 y extrapola el valor b = 5.
Tenemos los puntos:
P(x0 , y0) = (-1 , 0)
Q(x1 , y1) = (4 , 2)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
Interpolando a = 1 obtenemos: f(1) = 2/5 + 2/5 = 4/5
Extrapolando b = 5 obtenemos: f(5) = 2 + 2/5 = 12/5
En la siguiente tabla se recogen las presiones de vapor de agua en función de la temperatura:
x: temperatura (Cº) | 8 | 25 |
---|---|---|
y: presión (mm Hg) | 9.3 | 32.2 |
a) Calcula por interpolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 20 ºC
b) Calcula por extrapolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 5 ºC
Para poder resolver ambos apartados necesitamos hallar la función de interpolación lineal asociada al problema.
Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos de la tabla:
(x0 , y0) = (8 , 9.3)
(x1 , y1) = (25 , 32.2)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
a) Interpolando x = 20 obtenemos:
b) Extrapolando x = 5 obtenemos: f(4) = 4 + 1 = 5
Calcula la recta que pasa por los puntos A(-3, -2) y B(3, 4) . Interpola el valor de la función para x = 2 y extrapola el valor de la función para x = 4 .
Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos A y B:
(x0 , y0) = A(-3 , -2)
(x1 , y1) = B(3 , 4)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
Interpolando x = 2 obtenemos: f(2) = 2 + 1 = 3
Extrapolando x = 4 obtenemos: f(4) = 4 + 1 = 5
Para representar la recta tomamos los puntos del enunciado:
Calcula la parábola que pasa por lso puntos A(-3 , 1), B(-1, -3) y C(2 , 5). Interpola el valor de la función para x = -2 y extrapola el valor de la función para x = 3.
Tenemos los puntos:
(x0 , y0) = (-3 , 1)
(x1 , y1) = (-1 , -3)
(x2 , y2) = (2 , 5)
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Aplicamos el método de reducción con la primera y segunda ecuación, y con la segunda y tercera ecuación:
Resolvemos el sistema que nos queda:
Aplicamos reducción multiplicando la primera ecuación por 3:
Despejamos b de la primera ecuación del sistema y sustituimos por valor de a:
4a - b = 2 ⇔ b = 4a - 2 = 4(14/15) - 2 &⇔ b = 26/15
Despejamos c de la segunda ecuación del sistema de ecuaciones original, y sustituimos por los valores hallados:
Luego la función de interpolación es:
Interpolando x = -2 obtenemos:
Extrapolando x = 3 obtenemos:
Determinar la función cuadrática de interpolación que pasa por los puntos (0 , -3) , (1 , 0) , (3 , 0). Interpola el valor a = 2 y extrapola el valor b = -1.
Tenemos los puntos:
(x0 , y0) = (0 , -3)
(x1 , y1) = (1 , 0)
(x2 , y2) = (3 , 0)
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Luego la función de interpolación es:
y = - x2 + 4x - 3
Interpolando a = 2 obtenemos: y = - 22 + 4·2 - 3 = 1
Extrapolando b = - 1 obtenemos: y = - (-1)2 + 4·(-1) - 3 = - 8