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Ejercicios resueltos de ecuaciones con valor absoluto

Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto:


1)   |x| = 4

2)    |3x| = 5

3)   |x - 3| = 1

4)   |1 + 5x| = - 3

5)   |x + 4| = x + 1

6)   x + |1 + 2x| = - 2

7)   3|x + 4| - 2 = x

8)   |x2 - 2| = 2 - 3x

9)   |x + 1| = |x - 5|

12)   | |5 - 2x| - 4 | = 10

13)   2|x| + |x - 1| = 2

14)   |x - 1| + 2|x - 3| = |x + 2|

Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto:


1)   |x| = 4

S = { 4 , - 4 }


2)    |3x| = 5


3)   |x - 3| = 1

S = { 4 , 2 }


4)   |1 + 5x| = - 3

Sabemos que siempre tiene que ser:

|1 + 5x| ≥ 0       ∀x ∈ R

Luego nunca puede ocurrir:

|1 + 5x| = - 3

Por tanto, la ecuación no tiene solución


5)   |x + 4| = x + 1

Comprobamos la solución:

Por tanto, la ecuación no tiene solución.


Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales:


6)   x + |1 + 2x| = - 2

Ambas soluciones cumplen la ecuación, por tanto:

S = { -1 , 1}


7)   3|x + 4| - 2 = x

Al comprobar las soluciones se observa que no cumplen la ecuación.

Por tanto, la ecuación no tiene solución.


8)   |x2 - 2| = 2 - 3x

Por otro lado, tenemos dos posibilidades para la igualdad:

    

   •   x2 - 2 = 2 - 3x    ⇔    x2 + 3x - 4 = 0

            


   •   x2 - 2 = - (2 - 3x) = - 2 + 3x    ⇔    x2 - 3x = 0   ⇔   x ( x - 3) = 0

           


Comprobamos si las soluciones cumplen la ecuación:

x = 1:      |12 - 2| = 2 - 3·1   ⇔   1 ≠ -1        x = 1 no es solución

Hacemos lo mismo para el resto de soluciones.

x = - 4 es solución

x = 0 es solución

x = 3 no es solución

Por tanto, el conjunto solución es:

            S = { -4 , 0 }


9)   |x + 1| = |x - 5|

Se comprueba la solución x = 2 y la cumple la ecuación.

x = 2


Tenemos dos posibilidades:

    

Por tanto, el conjunto solución es:

            ec_valorabs_s3



12)   | |5 - 2x| - 4 | = 10


13)   2|x| + |x - 1| = 2


Resolvemos la ecuación en los tres intervalos en que ha quedado dividida la recta real:

(-∞ , 0)   ,   [0 , 1)   ,   [1 , ∞)

•   Si   x < 0   entonces:      |x| = -x   ,   |x - 1| = - (x - 1)

      2(-x) - (x - 1) = 2    ⇔    - 2x - x + 1 = 2    ⇔    - 3x = 1    ⇔    x = - 1/3

•   Si   0 ≤ x < 1   entonces:      |x| = x   ,   |x - 1| = - (x - 1)

      2(x) - (x - 1) = 2    ⇔    2x - x + 1 = 2    ⇔    x = 1           Pero 1 ∉[0 , 1)

•   x ≥ 1 entonces:      |x| = x   ,   |x - 1| = x - 1

      2(x) + (x - 1) = 2    ⇔    2x + x - 1 = 2    ⇔    3x = 3    ⇔    x = 1


S = { -1/3 , 1}


14)   |x - 1| + 2|x - 3| = |x + 2|


Resolvemos la ecuación en los cuatro intervalos en que ha quedado dividida la recta real:


(-∞ , -2)   ,   [-2 , 1)   ,   [1 , 3)   ,   [3 , ∞)

•   Si  x < -2  entonces:      |x - 1| = - (x - 1)   ,   |x - 3| = - (x - 3)   ,   |x + 2| = - (x + 2)

      1 - x + 2(3 - x) = - x - 2      ⇔      1 - x + 6 - 2x = - x - 2      ⇔      - 2x = - 9     ⇔      x = 9/2
     Pero   x= 9/2 ∉ (-∞ , -2)

•   Si  - 2 ≤ x < 1  entonces:      |x - 1| = -(x - 1)   ,   |x - 3| = - (x - 3)   ,   |x + 2| = x + 2

      1 - x + 2(3 - x) = x + 2      ⇔      1 - x + 6 - 2x = x + 2      ⇔      - 4x = - 5      ⇔     x = 5/4
     Pero   x= 5/4 ∉ [-2 , 1)

•   Si  1 ≤ x < 3   entonces:      |x - 1| = x - 1   ,   |x - 3| = -(x - 3)   ,   |x + 2| = x + 2

      x - 1 + 2(3 - x) = x + 2      ⇔      x - 1 + 6 - 2x = x + 2      ⇔      - 2x = -3      ⇔      x = 3/2

•   Si x ≥ 3   entonces:      |x - 1| = x - 1   ,   |x - 3| = x - 3   ,   |x + 2| = x + 2

      x - 1 + 2(x - 3) = x + 2      ⇔      x - 1 + 2x - 6 = x + 2      ⇔      2x =9      ⇔      x = 9/2

Resuelve las siguientes ecuaciones:


S = { -2 , 6}



S = { -3 , 3}


x = 11/4