INICIOProblemas resueltos de medidas de dispersión.
1) Se ha realizado una encuesta entre 150 personas sobre la cantidad de euros que tienen hipotecados y se han obtenido los resultados reflejados en la siguiente tabla :
li
fi
[ 0, 60000 )
6
[ 60000, 90000 )
12
[ 90000, 120000 )
41
[ 120000, 150000 )
47
[ 150000, 180000 )
36
[ 180000, 210000 )
8
a) Calcula la media aritmética y la mediana.
b) Calcula la varianza y la desviación típica.
| li | fi |
|---|---|
| [ 0, 60000 ) | 6 |
| [ 60000, 90000 ) | 12 |
| [ 90000, 120000 ) | 41 |
| [ 120000, 150000 ) | 47 |
| [ 150000, 180000 ) | 36 |
| [ 180000, 210000 ) | 8 |
2) En una empresa trabajan 130 personas. En la siguiente tabla se recoge su sueldo mensual :
Sueldo mensual
Nº de trabajadores
[ 800, 1000 )
16
[ 1000, 1200 )
34
[ 1200, 1400 )
49
[ 1400, 1600 )
13
[ 1600, 1800 )
10
[ 1800, 2000 )
5
[ 2000, 2200 )
3
| Sueldo mensual | Nº de trabajadores |
|---|---|
| [ 800, 1000 ) | 16 |
| [ 1000, 1200 ) | 34 |
| [ 1200, 1400 ) | 49 |
| [ 1400, 1600 ) | 13 |
| [ 1600, 1800 ) | 10 |
| [ 1800, 2000 ) | 5 |
| [ 2000, 2200 ) | 3 |
a) Calcula el sueldo mensual medio de los trabajadores y el sueldo más frecuente.
b) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación.
3) Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado su suma. Estos son los resultados :
Suma
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
| Suma | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Veces | 3 | 8 | 9 | 11 | 20 | 19 | 16 | 13 | 11 | 6 | 4 |
a) Calcular la media y la desviación típica.
b) Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo:4) Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla :
Respuesta
[ 0, 10 )
[ 10, 20 )
[ 20, 30 )
[ 30, 40 )
[ 40, 50 )
[ 50, 60 )
[ 60, 70 )
[ 70, 80 )
Nº de peronas
40
60
75
90
105
85
80
65
| Respuesta | [ 0, 10 ) | [ 10, 20 ) | [ 20, 30 ) | [ 30, 40 ) | [ 40, 50 ) | [ 50, 60 ) | [ 60, 70 ) | [ 70, 80 ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nº de peronas | 40 | 60 | 75 | 90 | 105 | 85 | 80 | 65 |
a) Representar los datos mediante un histograma.
b) Calcular la media y desviación típica de respuestas correctas.
c) Calcular la mediana y el primer cuartil. żQué miden estos parámetros?5) Se han tomado los pesos y alturas de un grupo de personas, obteniéndose los siguientes datos :
Peso (kg)
Estatura (m)
61
1,75
63
1,70
61
1,70
65
1,80
67
1,70
61
1,80
63
1,75
65
1,70
66
1,80
63
1,75
Calcula el coeficiente de varicación y di si están más dispersos los pesos o alturas.
| Peso (kg) | Estatura (m) |
|---|---|
| 61 | 1,75 |
| 63 | 1,70 |
| 61 | 1,70 |
| 65 | 1,80 |
| 67 | 1,70 |
| 61 | 1,80 |
| 63 | 1,75 |
| 65 | 1,70 |
| 66 | 1,80 |
| 63 | 1,75 |
6) Estas son las medidas estadísticas de un estudio sobre el número de roturas que sufrieron unas varillas a las que se les sometió a una prueba.
Interpreta estas medidas estadísticas.
7) Un equipo de baloncesto necsita un pívot. Se han seleccionado dos jugadores que en sus últimos 10 partidos han anotado estos puntos. żCuál de ellos elegirías?
Jugador A
26
17
8
21
15
7
9
10
28
9
Jugador B
15
15
16
18
17
14
16
16
12
14
| Jugador A | 26 | 17 | 8 | 21 | 15 | 7 | 9 | 10 | 28 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jugador B | 15 | 15 | 16 | 18 | 17 | 14 | 16 | 16 | 12 | 14 |
8) Calcula la media aritmética, la mediana, moda, varianza y desviación típica de los siguientes datos:
a)
xi
10
11
12
13
14
fi
18
24
17
21
20
| xi | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 18 | 24 | 17 | 21 | 20 |
b)
li
[ 0, 3 )
[ 3, 6 )
[ 6, 9 )
[ 9, 12 )
[ 12, 15 )
[ 15, 18 )
[ 18, 21 )
[ 21, 24 )
fi
19
24
29
25
28
27
26
22
| li | [ 0, 3 ) | [ 3, 6 ) | [ 6, 9 ) | [ 9, 12 ) | [ 12, 15 ) | [ 15, 18 ) | [ 18, 21 ) | [ 21, 24 ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 19 | 24 | 29 | 25 | 28 | 27 | 26 | 22 |
9) El histograma de frecuencias agrupadas para ciertos datos es:
Calcular la media y la desviación típica.
10) Considérese la tabla de frecuencias agrupadas:
| Intervalo | [3,5 , 6,5) | [6,5 , 9,5) | [9,5 , 12,5) | [12,5 , 15,5) | [15,5 , 18,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencias | 3 | 5 | 9 | 6 | 2 |
Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media y la desviación típica.
11) La calificación media en Matemáticas obtenidas en cierto grupo de alumnos ha sido 5,5 ; la mediana 6 y la desviación típica 0,8. Una vez calificados los exámenes el profesor detecta un error en la redacción de un problema y decide subir 0,5 puntos la calificación a cada alumno.
a) żCuáles serían los valores correctos para la calificación media, mediana y desviación típica en ese grupo de alumnos? Razonar la respuesta.
b) Interpretar el significado del valor obtenido para la mediana.
c) A partir de los datos correctos, obtener e interpretar el coeficiente de variación.12) Una oficina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retirarán 100 clientes en un determinado día en un cajero automático:
Euros (€) nº de clientes [0, 20) 33 [20, 40) 27 [40, 60) 19 [60, 80) 14 [80, 100) 7 Hallar:
a) Cantidad media de dinero retirado por cada cliente y desviación típica.
b) La mediana. Interpretar el resultado.13) En la tabla adjunta se indica la media y la desviación típica de las notas no agrupadas correspondientes a un examen que ha sido realizado por los alumnos de tres grupos diferentes A, B y C, con 20 alumnos cada grupo.
A B C Media 4,35 6,28 5,33 Desviación típica 2,37 2,20 2,68
Con las notas de cada uno de estos tres grupos, agrupadas en intervalos de igual amplitud, se han construido los histogramas 1, 2 y 3:
Se pide:
a) Razona cada uno de estos histogramas a qué grupo de notas pertenece, a las del grupo A, a las del B o a las del C.
b) Tomando el centro de cada intervalo como representante de clase, calcular la media y la desviación típica correspondiente a cada uno de estos histogramas. Comprueba si los desultados obtenidos en b) confirman tu razonamiento del apartado a).
1) Se ha realizado una encuesta entre 150 personas sobre la cantidad de euros que tienen hipotecados y se han obtenido los resultados reflejados en la siguiente tabla :
li
fi
[ 0, 60000 )
6
[ 60000, 90000 )
12
[ 90000, 120000 )
41
[ 120000, 150000 )
47
[ 150000, 180000 )
36
[ 180000, 210000 )
8
a) Calcula la media aritmética y la mediana.
b) Calcula la varianza y la desviación típica.
| li | fi |
|---|---|
| [ 0, 60000 ) | 6 |
| [ 60000, 90000 ) | 12 |
| [ 90000, 120000 ) | 41 |
| [ 120000, 150000 ) | 47 |
| [ 150000, 180000 ) | 36 |
| [ 180000, 210000 ) | 8 |
| li | xi | fi | Fi | fi · xi | xi2 | fi · xi2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [ 0, 60000 ) | 30000 | 6 | 6 | 180000 | 900000000 | 5400000000 |
| [ 60000, 90000 ) | 75000 | 12 | 18 | 900000 | 5625000000 | 67500000000 |
| [ 90000, 120000 ) | 105000 | 41 | 59 | 4305000 | 11025000000 | 452025000000 |
| [ 120000, 150000 ) | 135000 | 47 | 106 | 6345000 | 18225000000 | 856575000000 |
| [ 150000, 180000 ) | 165000 | 36 | 142 | 5940000 | 27225000000 | 980100000000 |
| [ 180000, 210000 ) | 195000 | 8 | 150 | 1560000 | 38025000000 | 304200000000 |
| Sumatorios | 150 | 19230000 | 2665800000000 | |||
a)
b)
2) En una empresa trabajan 130 personas. En la siguiente tabla se recoge su sueldo mensual :
Sueldo mensual
Nº de trabajadores
[ 800, 1000 )
16
[ 1000, 1200 )
34
[ 1200, 1400 )
49
[ 1400, 1600 )
13
[ 1600, 1800 )
10
[ 1800, 2000 )
5
[ 2000, 2200 )
3
| Sueldo mensual | Nº de trabajadores |
|---|---|
| [ 800, 1000 ) | 16 |
| [ 1000, 1200 ) | 34 |
| [ 1200, 1400 ) | 49 |
| [ 1400, 1600 ) | 13 |
| [ 1600, 1800 ) | 10 |
| [ 1800, 2000 ) | 5 |
| [ 2000, 2200 ) | 3 |
a) Calcula el sueldo mensual medio de los trabajadores y el sueldo más frecuente.
b) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación.
| li | xi | fi | Fi | fi · xi | xi2 | fi · xi2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [ 800, 1000 ) | 900 | 16 | 16 | 14400 | 810000 | 12960000 |
| [ 1000, 1200 ) | 1100 | 34 | 50 | 37400 | 1210000 | 41140000 |
| [ 1200, 1400 ) | 1300 | 49 | 99 | 63700 | 1690000 | 82810000 |
| [ 1400, 1600 ) | 1500 | 13 | 112 | 19500 | 2250000 | 29250000 |
| [ 1600, 1800 ) | 1700 | 10 | 122 | 17000 | 2890000 | 28900000 |
| [ 1800, 2000 ) | 1900 | 5 | 127 | 9500 | 3610000 | 18050000 |
| [ 2000, 2200 ) | 2100 | 3 | 130 | 6300 | 4410000 | 13230000 |
| Sumatorio | 130 | 167800 | 226340000 | |||
a)
b)
3) Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado su suma. Estos son los resultados :
Suma
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
| Suma | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Veces | 3 | 8 | 9 | 11 | 20 | 19 | 16 | 13 | 11 | 6 | 4 |
a) Calcular la media y la desviación típica.
b) Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo:
a)
| xi | fi | Fi | fi · xi | xi2 | fi · xi2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 3 | 6 | 4 | 12 |
| 3 | 8 | 11 | 24 | 9 | 72 |
| 4 | 9 | 20 | 36 | 16 | 144 |
| 5 | 11 | 31 | 55 | 25 | 275 |
| 6 | 20 | 51 | 120 | 36 | 720 |
| 7 | 19 | 70 | 133 | 49 | 931 |
| 8 | 16 | 86 | 128 | 64 | 1024 |
| 9 | 13 | 99 | 117 | 81 | 1053 |
| 10 | 11 | 110 | 110 | 100 | 1100 |
| 11 | 6 | 116 | 66 | 121 | 726 |
| 12 | 4 | 120 | 48 | 144 | 576 |
| Sumatorio | 843 | 6633 | |||
b)
4) Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla :
Respuesta
[ 0, 10 )
[ 10, 20 )
[ 20, 30 )
[ 30, 40 )
[ 40, 50 )
[ 50, 60 )
[ 60, 70 )
[ 70, 80 )
Nº de peronas
40
60
75
90
105
85
80
65
| Respuesta | [ 0, 10 ) | [ 10, 20 ) | [ 20, 30 ) | [ 30, 40 ) | [ 40, 50 ) | [ 50, 60 ) | [ 60, 70 ) | [ 70, 80 ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nº de peronas | 40 | 60 | 75 | 90 | 105 | 85 | 80 | 65 |
a) Representar los datos mediante un histograma.
b) Calcular la media y desviación típica de respuestas correctas.
c) Calcular la mediana y el primer cuartil. żQué miden estos parámetros?
a)
b)
| Intervalos | xi | fi | Fi | xi2 | fi·xi | fi·xi2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [ 0, 10 ) | 5 | 40 | 40 | 25 | 200 | 1000 |
| [ 10, 20 ) | 15 | 60 | 100 | 225 | 900 | 13500 |
| [ 20, 30 ) | 25 | 75 | 175 | 625 | 1875 | 46875 |
| [ 30, 40 ) | 35 | 90 | 265 | 1225 | 3150 | 110250 |
| [ 40, 50 ) | 45 | 105 | 370 | 2025 | 4725 | 212625 |
| [ 50, 60 ) | 55 | 85 | 455 | 3025 | 4675 | 257125 |
| [ 60, 70 ) | 65 | 80 | 535 | 4225 | 5200 | 338000 |
| [ 70, 80 ) | 75 | 65 | 600 | 5625 | 4875 | 365625 |
| Sumatorios | 25600 | 1345000 | ||||
5) Se han tomado los pesos y alturas de un grupo de personas, obteniéndose los siguientes datos :
Peso (kg)
Estatura (m)
61
1,75
63
1,70
61
1,70
65
1,80
67
1,70
61
1,80
63
1,75
65
1,70
66
1,80
63
1,75
Calcula el coeficiente de varicación y di si están más dispersos los pesos o alturas.
| Peso (kg) | Estatura (m) |
|---|---|
| 61 | 1,75 |
| 63 | 1,70 |
| 61 | 1,70 |
| 65 | 1,80 |
| 67 | 1,70 |
| 61 | 1,80 |
| 63 | 1,75 |
| 65 | 1,70 |
| 66 | 1,80 |
| 63 | 1,75 |
Peso :
| xi | fi | Fi | fi · xi | xi2 | fi · xi2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 61 | 3 | 3 | 183 | 3721 | 11163 |
| 63 | 3 | 6 | 189 | 3969 | 11907 |
| 65 | 2 | 8 | 130 | 4225 | 8450 |
| 66 | 1 | 9 | 66 | 4356 | 4356 |
| 67 | 1 | 10 | 67 | 4489 | 4489 |
| Sumatorios | 635 | 40365 | |||
Alturas :
| xi | fi | Fi | fi · xi | xi2 | fi · xi2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1,70 | 4 | 4 | 6,80 | 2,89 | 11,56 |
| 1,75 | 3 | 7 | 5,25 | 3,0625 | 9,1875 |
| 1,80 | 3 | 10 | 5,40 | 3,24 | 9,72 |
| Sumatorio | 17,45 | 30,4675 | |||
Como el coeficiente de variación de las alturas es menor que el coeficiente de variación de los pesos, los datos de las alturas están más dispersos que los datos de los pesos.
6) Estas son las medidas estadísticas de un estudio sobre el número de roturas que sufrieron unas varillas a las que se les sometió a una prueba.
Interpreta estas medidas estadísticas.
En primer lugar comparamos la media con la mediana y la moda.
La media se aproxima a 1, indica que el n´´umero medio de roturas es casi 1. Sin embargo, la mayoría presenta cero roturas ( Mo=0 ), al igual que la mediana, lo que nos indica que al menos la mitad de las varillas no presenta roturas.
En segundo lugar se estudia el coeficiente de variación.
Su valor es demasiado elevado, lo que nos indica que los datos no están demasiado concentrados.
Por último se compara el valor de la desviación típica con la media.
El valor de la desviación típica es mayor que la media. Esto explica por qué los valores de la media, moda y mediana difieren.
Al tener una desviación típica tan grande, la media no es muy representativa.
7) Un equipo de baloncesto necesita un pívot. Se han seleccionado dos jugadores que en sus últimos 10 partidos han anotado estos puntos. żCuál de ellos elegirías?
Jugador A
26
17
8
21
15
7
9
10
28
9
Jugador B
15
15
16
18
17
14
16
16
12
14
| Jugador A | 26 | 17 | 8 | 21 | 15 | 7 | 9 | 10 | 28 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jugador B | 15 | 15 | 16 | 18 | 17 | 14 | 16 | 16 | 12 | 14 |
Calculamos en primer lugar la media y desviación típica de ambos jugadores.
Las puntuaciones medias de cada jugador son iguales.
Si queremos un jugador revulsivo, elegiriamos el jugador B, ya que en algunos partidos tiene buenas anotaciones pero en otros no.
Si lo que queremos es un jugador regular, elegiriamos el jugador A, ya que sus anotaciones son parecidas partido a aprtido.
14) Calcula la media aritmética, la mediana, la moda, varianza y desviación típica de los siguientes datos
a)
xi
10
11
12
13
14
fi
18
24
17
21
20
| xi | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 18 | 24 | 17 | 21 | 20 |
b)
li
[ 0, 3 )
[ 3, 6 )
[ 6, 9 )
[ 9, 12 )
[ 12, 15 )
[ 15, 18 )
[ 18, 21 )
[ 21, 24 )
fi
19
24
29
25
28
27
26
22
| li | [ 0, 3 ) | [ 3, 6 ) | [ 6, 9 ) | [ 9, 12 ) | [ 12, 15 ) | [ 15, 18 ) | [ 18, 21 ) | [ 21, 24 ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fi | 19 | 24 | 29 | 25 | 28 | 27 | 26 | 22 |
a)
| xi | fi | Fi | fi · xi | xi2 | fi · x i2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 18 | 18 | 180 | 100 | 1800 |
| 11 | 24 | 42 | 264 | 121 | 2904 |
| 12 | 17 | 59 | 204 | 144 | 2448 |
| 13 | 21 | 80 | 273 | 169 | 3549 |
| 14 | 20 | 100 | 280 | 196 | 3920 |
| Sumatorio | 1201 | 14621 | |||
b)
| li | xi | fi | Fi | fi · xi | xi2 | fi · xi2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [ 0, 3 ) | 1,5 | 19 | 19 | 28,5 | 2,25 | 42,75 |
| [ 3, 6 ) | 4,5 | 24 | 43 | 108 | 20,25 | 486 |
| [ 6, 9 ) | 7,5 | 29 | 72 | 217,5 | 56,25 | 1631,25 |
| [ 9, 12 ) | 10,5 | 25 | 97 | 262,5 | 110,25 | 2756,25 |
| [ 12, 15 ) | 13,5 | 28 | 125 | 378 | 182,25 | 5103 |
| [ 15, 18 ) | 16,5 | 27 | 152 | 445,5 | 272,25 | 7350,25 |
| [ 18, 21 ) | 19,5 | 26 | 178 | 507 | 380,25 | 9886,5 |
| [ 21, 14 ) | 22,5 | 22 | 200 | 495 | 506,25 | 11137,5 |
| Sumatorios | 200 | 2442 | 38394 | |||
9) El histograma de frecuencias agrupadas para ciertos datos es:
Calcular la media y la desviación típica.
10) Considérese la tabla de frecuencias agrupadas:
| Intervalo | [3,5 , 6,5) | [6,5 , 9,5) | [9,5 , 12,5) | [12,5 , 15,5) | [15,5 , 18,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencias | 3 | 5 | 9 | 6 | 2 |
Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media y la desviación típica.
| Intervalo |  |
 |
|---|---|---|
| [3,5 , 6,5) | 5 | 3 |
| [6,5 , 9,5) | 8 | 5 |
| [9,5 , 12,5) | 11 | 9 |
| [12,5 , 15,5) | 14 | 6 |
| [15,5 , 18,5) | 17 | 2 |
| Sumatorio | 25 |
11) La calificación media en Matemáticas obtenidas en cierto grupo de alumnos ha sido 5,5 ; la mediana 6 y la desviación típica 0,8. Una vez calificados los exámenes el profesor detecta un error en la redacción de un problema y decide subir 0,5 puntos la calificación a cada alumno.
a) żCuáles serían los valores correctos para la calificación media, mediana y desviación típica en ese grupo de alumnos? Razonar la respuesta.
b) Interpretar el significado del valor obtenido para la mediana.
c) A partir de los datos correctos, obtener e interpretar el coeficiente de variación.
12) Una oficina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retirarán 100 clientes en un determinado día en un cajero automático:
Euros (€) nº de clientes [0, 20) 33 [20, 40) 27 [40, 60) 19 [60, 80) 14 [80, 100) 7 Hallar:
a) Cantidad media de dinero retirado por cada cliente y desviación típica.
b) La mediana. Interpretar el resultado.a)
Intervalos [0, 20) 10 33 330 100 3300 33 [20, 40) 30 27 810 900 24300 60 [40, 60) 50 19 950 2500 47500 79 [60, 80) 70 14 980 4900 68600 93 [80, 100) 90 7 630 8100 56700 100 Sumatorio: 100 3700 200400
b)
13) En la tabla adjunta se indica la media y la desviación típica de las notas no agrupadas correspondientes a un examen que ha sido realizado por los alumnos de tres grupos diferentes A, B y C, con 20 alumnos cada grupo.
A B C Media 4,35 6,28 5,33 Desviación típica 2,37 2,20 2,68
Con las notas de cada uno de estos tres grupos, agrupadas en intervalos de igual amplitud, se han construido los histogramas 1, 2 y 3:
Se pide:
a) Razona cada uno de estos histogramas a qué grupo de notas pertenece, a las del grupo A, a las del B o a las del C.
b) Tomando el centro de cada intervalo como representante de clase, calcular la media y la desviación típica correspondiente a cada uno de estos histogramas. Comprueba si los desultados obtenidos en b) confirman tu razonamiento del apartado a).a)
Los datos están más dispersos en el histograma 1, luego debe de corresponderse con el grupo de mayor desviación típica, el grupo C.
El histograma 3 parece ser el de menor media, luego debe corresponderse con el grupo A.
Luego el histograma 2 se corresponderá con el grupo B.b)
H - 1
1 4 4 1 4 3 3 9 9 27 5 4 20 25 100 7 4 28 49 196 9 5 45 81 405 Sumatorio 20 106 732
H - 2
1 1 1 1 1 3 3 9 9 27 5 4 20 25 100 7 8 56 49 392 9 4 36 81 324 Sumatorio 20 122 844
H - 3
1 3 3 1 3 3 8 24 9 72 5 5 25 25 125 7 3 21 49 147 9 1 9 81 81 Sumatorio 20 82 428
H-1 H-2 H-3 Media 5,3 6,1 4,1 Desviación típica 2,925 2,23 2,14
Estos resultados confirman el razonamiento del apartado a)
