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Ejercicios de valor absoluto

Expresa como una función a trozos y dibuja su gráfica:

1)   y = |x - 3|

2)   y = |x| - 2

          

4)   y = |x2 - 4|

5)   y = | x2 + 2x - 15 |

6)   y = |- x2 + 6x - 8|

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x - 3|


valor absoluto


Dom(f) = R


Im(f) = [0, +∞)


Puntos de corte:

•   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 3   ⇒   El punto de corte es   (0, 3)

•   Para que    f(x) = 0   ⇒   0 = x - 3   ⇒   x = 3   ⇒   El punto de corte es   (3, 0)


Monotonía:

•   La función es decreciente en el intervalo   (-∞, 3)   puesto que   y = - x + 3   tiene pendiente negativa   (m = - 1) .

•   La función es creciente en el intervalo   (3, +∞)   puesto que y = x - 3 tiene pendiente positiva (m = 1) .


Máximos y mínimos:

La función posee un mínimo absoluto en el punto   (3, 0)   ya que   f(x) ≥ 0   para cualquier valor de   x .


funcion a trozos


Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x| - 2


funcion a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = [-2, +∞)


Puntos de corte:

•   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = - 2   ⇒   El punto de corte con el eje Y es   (0, - 2)

•   Para que    f(x) = 0   ⇒   0 = |x| - 2   ⇒   |x| = 2   ⇒   x = ±2    ⇒   Corta al eje X en los puntos   (- 2, 0)   y   (2, 0)


Monotonía:

•   La función es decreciente en el intervalo   (-∞, 0)   puesto que   y = - x - 2   tiene pendiente negativa   (m = - 1) .

•   La función es creciente en el intervalo   (0, +∞)   puesto que y = x - 2   tiene pendiente positiva (m = 1) .


Máximos y mínimos:

La función posee un mínimo absoluto en el punto   (0, - 2)   ya que   f(x) ≥ - 2   para cualquier valor de   x .


funcion a trozos


La gráfica es el resultado de trasladar verticalmente hacia abajo dos unidades a la función   f(x) = |x|

Es decir,   y = f(x) - 2 = |x| - 2


función a trozos

gráfica con valor absoluto

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |x2 - 4|


valor absoluto


Resolvemos la inecuación:   x2 - 4 ≥ 0

x2 - 4 = 0   ⇔   x2 = 4   ⇔   x = √4   ⇔   x = ± 2


A continuación estudiamos el signo en:   A = (-∞, -2)      B = (-2, 2)      C = (2, +∞)


•   Intervalo A:   x = - 3   ⇒   x2 - 4 = (-3)2 - 4 = 9 - 4 > 0

•   Intervalo B:   x = 0   ⇒   x2 - 4 = (0)2 - 4 = - 4 < 0

•   Intervalo C:   x = 3   ⇒   x2 - 4 = (3)2 - 4 = 9 - 4 > 0


Por tanto, tendremos que  x2 - 4 ≥ 0  en los intervalos   A   y   C .

Y será  x2 - 4 < 0  únicamente en el intervalo  B .


La función queda por lo tanto de la siguiente manera:


funcion a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = [0, +∞)


Puntos de corte:

•   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 4   ⇒   El punto de corte con el eje Y es   (0, 4)

•   Para que    f(x) = 0   ⇒   Corta al eje X en los puntos   (- 2, 0)   y   (2, 0)


Máximos y mínimos:

La función posee dos mínimos absolutos en los puntos   (- 2, 0)   y   (2, 0) .


funcion a trozos

Sea la función:     f(x) = | x2 + 2x - 15 |

a) Expresa   f(x)   como una función definida a trozos
b) Dibuja la gráfica de   f(x)


a)   Expresa la función   f(x)  como una función definida a trozos

funcion a trozos

Para definir la función, tenemos que resolver la siguiente ecuación:   x2 + 2x - 15 = 0

Las raíces de la ecuación son   x = 3   y   x = -5 ,  es decir, tenemos que estudiar como se comporta la función en los siguientes intervalos:   (-∞, -5)  ,   (-5, 3)   y   (3, +∞)

Intervalo (-∞, -5) (-5, 3) (3, +∞)
Punto de prueba f(-6) > 0 f(0) < 0 f(4) > 0
Signo de f (x) + - +

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos


b)   Dibuja la gráfica de   f(x).

Las funciones que definen a   f  son polinómicas, por lo que son continuas en todo   R ,  y en particular, lo son en sus intervalos de definición.

A continuación vamos a calcular los puntos de corte:

•   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

punto corte funcion a trozos

Los puntos de corte son:   (-5, 0)   y   (3, 0)

•   Corte con el eje OY:   f(0)

punto corte funcion a trozos

El punto de corte es:   (0, 15)


Además, la función tiene un eje de simetría para   x = - b / 2a .   Es decir,    x = -1 .

Para   x = -1   tenemos que   f(-1) = 16 .   Por lo tanto el vértice es el punto  V (-1, 16) .


grafica funcion a trozos

Representa la siguiente función con todas sus características:   y = |- x2 + 6x - 8|


valor absoluto


Resolvemos la inecuación:   - x2 + 6x - 8 ≥ 0

- x2 + 6x - 8 = 0


ecuacion 2 grado


A continuación estudiamos el signo en:   A = (-∞, 2)      B = (2, 4)      C = (4, +∞)


•   Intervalo A:   x = 0   ⇒   - x2 + 6x - 8 = - 8 < 0

•   Intervalo B:   x = 3   ⇒   - x2 + 6x - 8 = -(3)2 + 6·3 - 8 = 1 > 0

•   Intervalo C:   x = 5   ⇒   - x2 + 6x - 8 = -(5)2 + 6·5 - 8 = - 3 < 0


Por tanto, tendremos que  - x2 + 6x - 8 ≥ 0  en el intervalo B.

Y será  - x2 + 6x - 8 < 0  en los intervalos A y C .


La función queda por lo tanto de la siguiente manera:


funcion a trozos


Dom(f) = R


Im(f) = [0, +∞)


Puntos de corte:

•   x = 0   ⇒   f(0) = 8   ⇒   El punto de corte con el eje Y es   (0, 8)

•   f(x) = 0   ⇒   Corta al eje X en los puntos   (2, 0)   y   (4, 0)


Máximos y mínimos:

La función posee dos mínimos absolutos en los puntos   (2, 0)   y   (4, 0) .


funcion a trozos