Ejercicios de valor absoluto
Expresa como una función a trozos y dibuja su gráfica:
1) y = |x - 3|
2) y = |x| - 2
4) y = |x2 - 4|
5) y = | x2 + 2x - 15 |
6) y = |- x2 + 6x - 8|
Representa la siguiente función con todas sus características: y = |x - 3|
Dom(f) = R
Im(f) = [0, +∞)
Puntos de corte:
• Para x = 0 tenemos que f(0) = 3 ⇒ El punto de corte es (0, 3)
• Para que f(x) = 0 ⇒ 0 = x - 3 ⇒ x = 3 ⇒ El punto de corte es (3, 0)
Monotonía:
• La función es decreciente en el intervalo (-∞, 3) puesto que y = - x + 3 tiene pendiente negativa (m = - 1) .
• La función es creciente en el intervalo (3, +∞) puesto que y = x - 3 tiene pendiente positiva (m = 1) .
Máximos y mínimos:
La función posee un mínimo absoluto en el punto (3, 0) ya que f(x) ≥ 0 para cualquier valor de x .
Representa la siguiente función con todas sus características: y = |x| - 2
Dom(f) = R
Im(f) = [-2, +∞)
Puntos de corte:
• Para x = 0 tenemos que f(0) = - 2 ⇒ El punto de corte con el eje Y es (0, - 2)
• Para que f(x) = 0 ⇒ 0 = |x| - 2 ⇒ |x| = 2 ⇒ x = ±2 ⇒ Corta al eje X en los puntos (- 2, 0) y (2, 0)
Monotonía:
• La función es decreciente en el intervalo (-∞, 0) puesto que y = - x - 2 tiene pendiente negativa (m = - 1) .
• La función es creciente en el intervalo (0, +∞) puesto que y = x - 2 tiene pendiente positiva (m = 1) .
Máximos y mínimos:
La función posee un mínimo absoluto en el punto (0, - 2) ya que f(x) ≥ - 2 para cualquier valor de x .
La gráfica es el resultado de trasladar verticalmente hacia abajo dos unidades a la función f(x) = |x|
Es decir, y = f(x) - 2 = |x| - 2
Representa la siguiente función con todas sus características: y = |x2 - 4|
Resolvemos la inecuación: x2 - 4 ≥ 0
x2 - 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = √4 ⇔ x = ± 2
A continuación estudiamos el signo en: A = (-∞, -2) B = (-2, 2) C = (2, +∞)
• Intervalo A: x = - 3 ⇒ x2 - 4 = (-3)2 - 4 = 9 - 4 > 0
• Intervalo B: x = 0 ⇒ x2 - 4 = (0)2 - 4 = - 4 < 0
• Intervalo C: x = 3 ⇒ x2 - 4 = (3)2 - 4 = 9 - 4 > 0
Por tanto, tendremos que x2 - 4 ≥ 0 en los intervalos A y C .
Y será x2 - 4 < 0 únicamente en el intervalo B .
La función queda por lo tanto de la siguiente manera:
Dom(f) = R
Im(f) = [0, +∞)
Puntos de corte:
• Para x = 0 tenemos que f(0) = 4 ⇒ El punto de corte con el eje Y es (0, 4)
• Para que f(x) = 0 ⇒ Corta al eje X en los puntos (- 2, 0) y (2, 0)
Máximos y mínimos:
La función posee dos mínimos absolutos en los puntos (- 2, 0) y (2, 0) .
Sea la función: f(x) = | x2 + 2x - 15 |
a) Expresa f(x) como una función definida a trozos
b) Dibuja la gráfica de f(x)
a) Expresa la función f(x) como una función definida a trozos
Para definir la función, tenemos que resolver la siguiente ecuación: x2 + 2x - 15 = 0
Las raíces de la ecuación son x = 3 y x = -5 , es decir, tenemos que estudiar como se comporta la función en los siguientes intervalos: (-∞, -5) , (-5, 3) y (3, +∞)
Intervalo | (-∞, -5) | (-5, 3) | (3, +∞) |
---|---|---|---|
Punto de prueba | f(-6) > 0 | f(0) < 0 | f(4) > 0 |
Signo de f (x) | + | - | + |
Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:
b) Dibuja la gráfica de f(x).
Las funciones que definen a f son polinómicas, por lo que son continuas en todo R , y en particular, lo son en sus intervalos de definición.
A continuación vamos a calcular los puntos de corte:
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
Los puntos de corte son: (-5, 0) y (3, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
El punto de corte es: (0, 15)
Además, la función tiene un eje de simetría para x = - b / 2a . Es decir, x = -1 .
Para x = -1 tenemos que f(-1) = 16 . Por lo tanto el vértice es el punto V (-1, 16) .
Representa la siguiente función con todas sus características: y = |- x2 + 6x - 8|
Resolvemos la inecuación: - x2 + 6x - 8 ≥ 0
- x2 + 6x - 8 = 0
A continuación estudiamos el signo en: A = (-∞, 2) B = (2, 4) C = (4, +∞)
• Intervalo A: x = 0 ⇒ - x2 + 6x - 8 = - 8 < 0
• Intervalo B: x = 3 ⇒ - x2 + 6x - 8 = -(3)2 + 6·3 - 8 = 1 > 0
• Intervalo C: x = 5 ⇒ - x2 + 6x - 8 = -(5)2 + 6·5 - 8 = - 3 < 0
Por tanto, tendremos que - x2 + 6x - 8 ≥ 0 en el intervalo B.
Y será - x2 + 6x - 8 < 0 en los intervalos A y C .
La función queda por lo tanto de la siguiente manera:
Dom(f) = R
Im(f) = [0, +∞)
Puntos de corte:
• x = 0 ⇒ f(0) = 8 ⇒ El punto de corte con el eje Y es (0, 8)
• f(x) = 0 ⇒ Corta al eje X en los puntos (2, 0) y (4, 0)
Máximos y mínimos:
La función posee dos mínimos absolutos en los puntos (2, 0) y (4, 0) .