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Ejercicios de funciones a trozos

Representa y describe las características de las siguientes funciones:


función a trozos


1)   Dominio:     Dom(f) = R


2)   Recorrido:     Im(f) = R


3)   Puntos de corte:


Puntos de corte del eje Y:


x = 0     ⇒     f(0) = 3·0 - 1 = - 1     ⇒     (0 , -1)


Puntos de corte con el eje X:


•   Para x < 1 :      y = 0  ,  y = 3x - 1     ⇒     0 = 3x - 1     ⇒     x = 1/3 < 1     ⇒     (1/3 , 0)


•   Para x ≥ 1 :      y = 0  ,  y = x - 2     ⇒     0 = x - 2     ⇒     x = 2 ≥ 1     ⇒     (2 , 0)


4)   Continuidad:


(-∞ , 1) :   la función es continua por ser una función lineal.


(1 , ∞) :   la función es continua por ser una función lineal.


Veamos si  f   es continua en el punto  x = 1 :


•   f(x) = 3x - 1 :      f(1) = 3·1 - 1 = 2


•   f(x) = x - 2 :      f(1) = 1 - 2 = - 1


Como no coinciden  f   no es continua en x = 1.


Por tanto, f es continua en:     R - {1}


5)   Monotonía:


•   Si  x < 1   f(x) = 3x - 1 :      es una función lineal con pendiente positiva (m = 3), por tanto es creciente.


•   Si  x ≥ 1   f(x) = x - 2 :      es una función lineal con pendiente positiva (m = 1), por tanto es creciente.


La función f es creciente en todo su dominio.


6)   Asíntotas:


Ambas ramas de la función son lineales, por tanto, no tiene ninguna asíntota.


7)   Periodicidad y simetría:     no tiene periodicidad y simetría.


función a trozos


Representa y describe las características de las siguientes funciones:


función a trozos


1)   Dominio:     Dom(f) = R


2)   Recorrido:     Im(f) = R


3)   Puntos de corte:


Puntos de corte del eje Y:


x = 0     ⇒     f(0) = 0 - 9 = - 9     ⇒     (0 , -9)


Puntos de corte con el eje X:


•   Para x < 3 :      y = 0  ,  y = x2 - 9     ⇒     0 = x2 - 9     ⇒


                             ⇒      x = ±√9 = ± 3   ,   sólo x = - 3 < 3  ⇒     (-3 , 0)


•   Para x ≥ 3 :      y = 0  ,  y = - x + 3     ⇒     x = 3 ≥ 3  ⇒     (3 , 0)


Para dibujar la gráfica, además de los puntos de corte con los ejes, vamos a necesitar el vértice de la parábola:

         vértice parábola

Si  x = 0 , hemos visto que   y = - 9.


El vértice de la parábola es:     (0 , - 9)


4)   Continuidad:


(-∞ , 3) :   la función es continua por ser una parábola, es decir, una función polinómica de segundo grado.


(3 , ∞) :   la función es continua por ser una función lineal.


Veamos si  f   es continua en el punto  x = 3 :


         •   f(x) = x2 - 9 :      f(3) = 32 - 9 = 0


         •   f(x) = - x + 3 :      f(3) = - 3 + 3 = 0


Como sí coinciden,  f   es continua en x = 3.


Por tanto, f es continua en todo   R .


5)   Monotonía:


•   Si  x < 3   f(x) = x2 - 9 :      es una parábola con coeficiente   a = 1   positivo, por tanto, es decreciente hasta su vértice (situado en x = 0), y creciente en el resto de valores menores que 3.


•   Si  x ≥ 1   f(x) = x - 2 :      es una función lineal con pendiente negativa (m = -1), por tanto es decreciente.


Por tanto, f es creciente en:     (0 , 3)


Y es decreciente en:     (-∞ , 0) ∪ (3 , ∞)


Es claro, que existe un mínimo relativo en el vértice de la parábola (0 , 3) .


6)   Asíntotas:


Ambas ramas de la función son polinómicas, por tanto, no tiene ninguna asíntota.


función a trozos

Representa y describe las características de las siguientes funciones:


función a trozos


1)   Dominio:


La primera rama es una raíz cúbica, luego su dominio es todo R .


La segunda rama es una función racional, por tanto, no estará bien definida en aquellos valores que anulan el denominador:


            x - 2 = 0     ⇔     x = 2


Está bien definida en   R - {2}


La tercera rama es una función lineal, luego su dominio es todo R .


Por tanto, la función f está bien definida en:     Dom(f) = R - {2}


2)   Recorrido:      Im(f) = R - (0 , 5/2)


3)   Puntos de corte:


Puntos de corte del eje Y:


punto de corte


Puntos de corte con el eje X:


•   Para x < 0 :      y = 0  ,  y = 3√x     ⇒     0 = 3√x     ⇒     x = 0     ⇒     (0 , 0)


•   Para  0 ≤ x ≤ 4 :      y = 0  ,  y = 5/(x - 2)     ⇒     0 = 5/(x - 2)     ⇒     0 5     ,  no corta al eje Y


•   Para   x ≥ 4 :      y = 0  ,  y = x     ⇒     0 = x    ,  pero 0 < 4     así que  no corta al eje Y


4)   Continuidad:


(-∞ , 0) :   la función es continua por ser una raíz cúbica.


(0 , 4) :   es una función racional que no está definida en  x = 2.


(4 , ∞) :   la función es continua por ser una función lineal.


Veamos si  f   es continua en el punto  x = 0 :


         •   f(x) = 3√x :      f(0) = 3√0 = 0


         •   f(x) = 5/(x - 2) :      f(0) = 5/(0 - 2) = - 5/2


Como no coinciden,  f   no es continua en x = 0.


Veamos si  f   es continua en el punto  x = 4 :


         •   f(x) =5/(x - 2) :      f(4) =5/(4 - 2) = 5/2


         •   f(x) = x :      f(4) = 4


Como no coinciden,  f   no es continua en x = 4.


Los únicos puntos en los que f no es continua son:     x = 2 , x = 0 , x = 4


Por tanto, f es continua en :     R - {0 , 2 , 4}


5)   Monotonía:


•   Si  x < 0     f(x) = 3√x :      es una raíz cúbica , por tanto es creciente en todo su dominio.


•   Si  0 < x < 4     f(x) = 5/(x - 2) :      es una función racional decreciente en (0 , 2) ∪ (2 , 4) .


•   Si  x ≥ 4     f(x) = x :      es una función lineal con pendiente positiva (m = 1), por tanto es creciente.


En conclusión, f es creciente en:     (∞ , 0) ∪ (4 , ∞)


Y es decreciente en:     (0 , 2) ∪ (2 , 4)


6)   Asíntotas:


Hemos visto al estudiar el dominio de la función que existe una asíntota vertical en   x = 2 .


función a trozos

 

Representa la gráfica de la siguiente función :


Representamos la gráfica correspondiente a cada uno de los intervlos.

x ≤ - 3    →    f ( x ) = 2x + 5

x - 5 - 4 - 3
y = f ( x ) - 5 - 3 - 1



- 3 < x < 1 → f ( x ) = x 2 - 4

x - 2 - 1 0
y = f ( x) 0 - 3 - 4



x ≥ 1 → f ( x ) = x - 3

x 1 2 3
y = f ( x ) - 2 - 1 0

Por último, representamos gráficamente las gráficas de cada uno de los intervalaos :

representacion grafica de una funcion definida por intervalos o definida a trozos



 

Representa y describe las características de las siguientes funciones:



1)   Dominio:     Dom(f) = R


2)   Recorrido:     Im(f) = R


3)   Puntos de corte:


Puntos de corte del eje Y:


x = 0     ⇒     f(0) = 0 - 9 = - 9     ⇒     (0 , -9)


Puntos de corte con el eje X:


•   Para x < 3 :      y = 0  ,  y = x2 - 9     ⇒     0 = x2 - 9     ⇒


                             ⇒      x = ±√9 = ± 3   ,   sólo x = - 3 < 3  ⇒     (-3 , 0)


•   Para x ≥ 3 :      y = 0  ,  y = - x + 3     ⇒     x = 3 ≥ 3  ⇒     (3 , 0)


Para dibujar la gráfica, además de los puntos de corte con los ejes, vamos a necesitar el vértice de la parábola:

         

Si  x = 0 , hemos visto que   y = - 9.


El vértice de la parábola es:     (0 , - 9)


4)   Continuidad:


(-∞ , 3) :   la función es continua por ser una parábola, es decir, una función polinómica de segundo grado.


(3 , ∞) :   la función es continua por ser una función lineal.


Veamos si  f   es continua en el punto  x = 3 :


         •   f(x) = x2 - 9 :      f(3) = 32 - 9 = 0


         •   f(x) = - x + 3 :      f(3) = - 3 + 3 = 0


Como sí coinciden,  f   es continua en x = 3.


Por tanto, f es continua en todo   R .


5)   Monotonía:


•   Si  x < 3   f(x) = x2 - 9 :      es una parábola con coeficiente   a = 1   positivo, por tanto, es decreciente hasta su vértice (situado en x = 0), y creciente en el resto de valores menores que 3.


•   Si  x ≥ 1   f(x) = x - 2 :      es una función lineal con pendiente negativa (m = -1), por tanto es decreciente.


Por tanto, f es creciente en:     (0 , 3)


Y es decreciente en:     (-∞ , 0) ∪ (3 , ∞)


Es claro, que existe un mínimo relativo en el vértice de la parábola (0 , 3) .