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Ejercicios resueltos de funciones exponenciales y logarítimcas.

Resumen de las propiedades de la función exponencial   ax

1      La función exponencial es la inversa de la logarítmica:
     y = ax      ⇔      x = loga y
2      La función   y = ax  tiene por dominio   R   y por recorrido   y > 0
3   La función    y = ax  es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4      La función   y = ax   es cóncava hacia arriba en todo su dominio.


Resumen de las propiedades de la función logaritmo neperiano

1      La función logarítmica es la inversa de la exponencial:
     y = loga x      ⇔      x = ay
2      La función    y = loga x   tiene por dominio   { x ∈ R  |  x > 0 }   y por recorrido   R .
3      La función    y = loga x   es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4      La función   y = loga x   es convexa o cóncava hacia abajo en todo su dominio.

Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

f(x) = 2x                           g(x) = 2 - x = (1/2)x


1) Dominio:


El dominio de las funciones exponenciales es R.


Dom(f) = Dom(g) = R .


2) Recorrido:


El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .


Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .


3) Puntos de corte:


f(0) = 20 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).


g(0) = - 20 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).


La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.


4) Crecimiento y decrecimiento:


La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .


La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .


5) Concavidad y convexidad:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   son concavas.


6) Asíntotas:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

En  f ( x )   a > 1   y en  g ( x )   0 < a < 1.

f ( x ) :

x - 5 - 10 - 20
y 0,03125 0,00097 9,53 · 10 - 7

  Cuando  x → - ∞ , entonces  2 x → 0

  g( x ) :

x 5 10 30
y 0,03125 0,00097 9,53 · 10 - 7

  Cuando  x → ∞ , entonces  a - x → 0


7) Tabla de valores:



tabla_valores


exponencial

 

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


y = 2 + 3x


1) Dominio:


El dominio de las funciones exponenciales es R.


2) Recorrido:


Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = 3x, cuyo recorrido es (0 , ∞).


Por tanto su recorrido queda trasladado verticalmente en dos unidades:   (2, + ∞) .


3) Puntos de corte:


y = 2 + 30 = 2 + 1 = 3  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 3).


La función   no corta al eje X.


4) Crecimiento y decrecimiento:


La función es creciente ya que   a = 3 > 1 ( y = ax ).


5) Concavidad y convexidad:


Es cóncava por ser una función exponencial.


6) Asíntotas:


Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = 3x, cuya asíntota está en el eje X.


Por tanto la asíntota de nuestra función queda trasaladada verticalmente a la recta y = 2 .


7) Tabla de valores:


                        tabla de valores


exponencial

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


                        función exponencial


1) Dominio:


El dominio de las funciones exponenciales es R.


2) Recorrido:


Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = (1/5)x, cuyo recorrido viene dado por (0 ,∞).


Por tanto, el recorrido de nuestra función queda trasladado verticalmente -3 unidades:   (-3, + ∞) .


3) Puntos de corte:


Punto de corte con el eje Y:


            punto de corte


Punto de corte con el eje X:


            punto de corte


            Aplicamos logaritmo en ambos miembros de la igualdad


            ecuación logarítmica


            ecuación logarítmica



4) Crecimiento y decrecimiento:


La función es decreciente ya que   a = 1/5 < 1 ( y = ax ).


5) Concavidad y convexidad:


Es cóncava por ser una función exponencial.


6) Asíntotas:


Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = (1/5)x, cuya asíntota está en el eje X.


Por tanto la asíntota de nuestra función queda trasaladada verticalmente hacia abajo a la recta y = - 3.


7) Tabla de valores:


                        tabla de valores


función exponencial

Dada la siguiente función, estudia sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


1)    y = 3x - 2


Esta función es una traslación horizontal hacia la derecha de la función exponencial g(x) = 3x, es decir, nuestra función es:


                       f(x) = 3x - 2 = g(x - 2)


Punto de corte con el eje Y:


            y = 30 - 2 = 3-2 = 1/9     ⇒     (0 , 1/9)


No corta al eje X.


La función g tiene su asíntota en el eje X.


Como nuestra función es una traslación horizontal de g (no vertical), su asíntota será la misma que la de g.


Por tanto, nuestra función tiene una asíntota en el eje X.


                        tabla de valores


función exponencial

Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


1) Dominio:


El dominio de las funciones exponenciales es R.


Dom(f) = Dom(g) = R .


2) Recorrido:


El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .


Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .


3) Puntos de corte:


f(0) =3 · 50 = 3  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 3).


g(0) = 2 · ( 1 / 3 ) 0 = 2  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 2).


La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.


4) Crecimiento y decrecimiento:


La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .


La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .


5) Concavidad y convexidad:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   son cóncavas.


6) Asíntotas:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

En  f ( x )   a > 1   y en  g ( x )   0 < a < 1.

f ( x ) :

  Cuando  x → - ∞ , entonces  2 x → 0

g( x ) :

  Cuando  x → ∞ , entonces  a - x → 0


7) Tabla de valores:

f (x) :

x - 1 0 1
y 0,6 3 15

g (x) :

x - 1 0 1
y 6 2 0,6


representacion grafica funcion exponencial





Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

f(x) = log2x                                  g(x) = log1/2x


propiedad



1) Dominio:


El dominio de las funciones logarítmicas es   (0, + ∞) .


Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .


2) Recorrido:


El recorrido de las funciones logarítmicas es R.


Im(f) = Im(g) = R .


3) Puntos de corte:


f(1) = log21 = 0  ,   el punto de corte con el eje X es   (1, 0).


g(1) = log1/21 = 0  ,   el punto de corte con el eje X es   (1, 0).


La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje Y.


3) Crecimiento y decrecimiento:


La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .


La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .


4) Concavidad y convexidad:


Las función   f(x)    es convexa ya que   a > 1 .


Las función   g(x)   es concava ya que   0 < a < 1 .


5) Asíntotas:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje Y.

En f ( x ) , a > 1, mientras que en g ( x ) a < 1 :

f ( x ) :

x 0,001 0,00001 0,0000001 0,000000001
y - 9,96 -16,60 - 23,25 - 29,89

  Cuando x → 0 + , entonces log 2 x → - ∞

  g ( x ) :

x 0,001 0,00001 0,0000001 0,000000001
y 9,96 16,60 23,25 29,89

  Cuando x → 0 + , entonces log 1 / 2 x → ∞


6) Tabla de valores:


tabla_valores


tabla_valores


logaritmicas

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


y = 2 + log2 (x - 3)


1) Dominio:


Esta función es una traslación de la función logarítmica  g(x) = log2x.


Por un lado, está traslada verticalmente en 2 unidades, y por otro, está trasladada horizontalmente hacia la derecha en 3 unidades. Es decir, nuestra función es:


                        f(x) = 2 + log2 (x - 3) = 2 + g(x - 3)


El dominio de  g   es  (0 , ∞) , por tanto, el dominio de nuestra función es:     (3 , ∞)


2) Recorrido:


Su recorrido viene dado por todos los números reales:   R


3) Puntos de corte:


No corta al eje Y, ya que x = 0 no está en el dominio de la función:     0 ∉ (3 , ∞).


Punto de corte con el eje X:


0 = 2 + log2 (0 - 3) = 2 + log2 3     ⇒     ( 2 + log2 3 , 0)


4) Crecimiento y decrecimiento:


La función es creciente ya que   a = 2 > 1   ( y = loga x) .


5) Concavidad y convexidad:


La función es convexa ya que   a = 2 > 1   ( y = loga x) .


6) Asíntotas:


La función   g(x) = log2 x   tiene una asíntota en el eje Y.


Como nuestra función está trasladada horizontalmente hacia la derecha en 3 unidades con respecto a la función  g , su asíntota también queda trasladada de la misma forma.


Por tanto, nuestra función tiene una asíntota vertical en  x = 3 .


7) Tabla de valores:


                        tabla de valores


función logarítmica

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


y = - 3 + log1/2 (x + 2)


Esta función es una traslación de la función logarítmica  g(x) = log1/2x.


Por un lado, está traslada verticalmente en -3 unidades, y por otro, está trasladada horizontalmente hacia la izquierda en 2 unidades. Es decir, nuestra función es:


                        f(x) = - 3 + log1/2 (x + 2) = - 3 + g(x + 2)


Punto de corte con el eje Y:


y = - 3 + log1/2 (0 + 2) = - 3 + log1/2 2 = - 3 + (-1) = - 4     ⇒     (0 , - 4)


Punto de corte con el eje X:


punto de corte


punto de corte


La función  g  tiene su asíntota en el eje Y.


Como nuestra función está trasladada horizontalmente hacia la izquierda en 2 unidades con respecto a la función  g ,  su asíntota estará trasladada de la misma forma.


Por tanto, nuestra función tiene una asíntota vertical en  x = -2 .


                        tabla de valores


función logarítmica