Ejercicios de teoremas de continuidad

Consideramos la función   f(x) = x³ - 4x - 2   la cual es continua por ser polinómica.

Tanteando, tenemos que   f(2) = - 2   y   f(3) = 13

Es decir, tenemos una función continua en el intervalo   [2, 3]   donde   signo de f(2) ≠ signo de f(3) .

Por lo tanto, por el Teorema de Bolzano, existe un   c ∈ [2, 3]   tal que   f(c) = 0 .

Para aproximar la solución a la décima seguimos tanteando:   f(2,2) = - 0,152   y   f(2,3) = 0,967

Tememos una función cotinua en el intervalo   [2,2, 2,3]   donde   signo de f(2,2) ≠ signo de f(2,3) .

Es decir, existe un   c ∈ [2,2, 2,3]   tal que   f(c) = 0 .

Consideremos la función:     f(x) = x⁴ - 4x² - 1

Vamos a intentar aplicar el teorema de Bolzano para encontrar una raíz negativa del polinomio, es decir, para encontrar un valor de  c < 0   que cumpla que   f(c) = 0 .

La función   f   es continua en todo   R   por ser polinómica.

Tanteando con valores negativos, tenemos que:

f(-4) = 191 > 0

f(-1) = - 4 < 0

Por lo tanto, por el Teorema de Bolzano, existe un   c ∈ [-4, -1]   tal que   f(c) = 0 .

La función se anula en algún punto del intervalo  (-4 , -1) ,   por lo que el polinomio tiene una raíz negativa en dicho intervalo.

Las funciones que definen la función   f   son polinómicas, luego son continuas para cualquier valor de la recta real, y en particular en lo son en el intervalo   [0 , 3] .

El único valor en el que puede haber problema es en el de abscisa   x = 2 . Estudiemos la continuidad de   f   en dicho punto:

   f(2) = - 2² + 1 = - 3

Como los límites laterales no coinciden la función   f   no es continua en x = 2 .

Puesto que la función  f   no es continua en todo el intervalo   [0 , 3] ,  no podemos aplicar el teorema de Bolzano.

Sin embargo, podemos encontrar un   c ∈ [0 , 3]   tal que   f(c) = 0 .  Por ejemplo:

                                 Si    c = 1 ∈ [0 , 3]      ⇒     f(1) = - 1² + 1 = 0

Esto no contradice el teorema. El que no se cumplan las condiciones del teorema de Bolzano no significa que no exista un valor de   c   en el que la función se anule.

Sabemos que la función tangente no está definida en    x = π/2 ,    y   π/2 ∈ [π/4 , 3π/4].

Por tanto, la función f no es continua en todos los puntos del intervalo  [π/4 , 3π/4] .

Como no cumple una de las condiciones del teorema de Bolzano, no podemos aplicarlo y asegurar que existe   c∈[π/4 , 3π/4]   tal que   f(c) = 0.

Es decir, no podemos asegurar que   f   tenga una raíz en   [π/4 , 3π/4].

La función que nos describen es:

Las funciones que definen la función   f   son polinómicas, luego son continuas para cualquier valor de la recta real , en particular en el intervalo   [-1 , 1] .

El único valor en el que puede haber problema es en el de abscisa   x = 0 . Estudiemos la continuidad de   f   en dicho punto:

   f(0) = - 1

Como los límites laterales coinciden tenemos que:

Se cumple la condición de continuidad en   x = 0 :

Por tanto, la función es continua en   x = 0 ,  por lo que es continua en todo el intervalo   [-1 , 1] .

Comprobamos que en los puntos   x = -1   y   x = 1   el signo de la función es distinto:

f(-1) = -1 < 0

f(1) = 2·1² - 1 = 1 > 0

Por tanto, la función   f  verifica el teorema de Bolzano en   [-1 , 1] .

Consideremos la función:   f(x) = x - cos x

f(x)    es continua en todo    R    puesto que es la suma de dos funciones continuas en todo    R  , por lo que es continua en el intervalo   [0, 1] .

Además, tenemos que:

•   f(0) = 0 - cos 0 = 0 - 1 = - 1 < 0

•   f(1) = 1 - cos 1 = 1 - 0,54 = 0,46 > 0

Según el teorema de Bolzano, existe un   c ∈ (0, 1)   tal que   f(c) = 0 

Por lo tanto se demuestra que la ecuación tiene al menos una solución positiva.

Teorema de Bolzano:   Si una función es continua en un intervalo cerrado   [a, b]   y   signo f(a) ≠ signo f(b) ,  entonces existe un   c ∈ [a, b]   tal que   f(c) = 0 .

Vamos a escribir la ecuación en forma de una función dependiente de la variable x :

                             2^{x - 1} = 1 + (1 + x)²     ⇔     1 + (1 + x)² - 2^{x - 1} = 0

Consideremos pues la función:    f(x) = 1 + (1 + x)² - 2^{x - 1}

La función  f   es continua en todo  R   por ser suma de funciones continuas:

                             x   →   1 + (1 + x)²       continua por ser polinómica

                             x   →   2^{x - 1}       continua por ser exponencial

Observamos que es dificil encontrar dos números   a,b ∈ R   tales que   signo f(a)≠signo f(b) ,  así que vamos a calcular los límites en los extremos de la función, es decir, en ±∞ :

Calculando los límites por separado tenemos que:

Luego:

Por otro lado:

Y por comparación de infinitos (un infinito exponencial es mayor que el infinito de un polinomio) se tiene que:

Como el límite de   f   en   -∞   tiene distinto signo que el límite de   f   en  +∞  ,  podemos aplicar el teorema de Bolzano.

Por tanto, existe al menos un número real   c ∈ R   tal que   f(c) = 0 ,  es decir, es solución de la ecuación del enunciado.

Vamos a intentar encontrar un intervalo que contenga a dicho   c ∈ R .

f(7) = 1 + 8² - 2⁶ = 1 > 0

f(8) = 1 + 81 - 2⁷ = -46 < 0

Luego    c ∈ (7 , 8) .

Consideremos la función:   h(x) = x·sen x - ln x

f(x)    es continua en todo    R    y    g(x)    lo es en    (0, +∞)   ,  por lo que    h(x)    es continua en el intervalo    [2, 3] .

Además, tenemos que:

•   h(2) = 1,12 > 0

•   h(3) = -0,67 < 0

Según el teorema de Bolzano, existe un   c ∈ (2, 3)   tal que   h(c) = 0 

Es decir,    h(c) = f(c) - g(c) = 0     ⇒     f(c) = g(c)

Por lo tanto las funciones    f(x)   y   g(x)   se cortan en algún punto de dicho intervalo.

Consideremos la función:   h(x) = e^x - 1/x

f(x)    es continua en todo    R    y    g(x)   en    R - {0}   ,  por lo que h(x) es continua en    R - {0} .

Además, tenemos que:

•   h(0,5) = -0,35 < 0

•   h(1) = 1,72 > 0

Según el teorema de Bolzano, existe un   c ∈ (0,5, 1)   tal que   h(c) = 0 

Es decir,    h(c) = f(c) - g(c) = 0     ⇒     f(c) = g(c)

Por lo tanto las funciones    f(x)   y   g(x)   se cortan en algún punto de dicho intervalo.

Consideremos la función:   h(x) = ln x - e^-x

f(x)    es continua en    (0, +∞)    y    g(x)   en    R  ,  por lo que h(x) es continua en    (0, +∞) .

Además, tenemos que:

•   h(1) = ln 1 - e^-1 = 0 - 1/e < 0 0

•   h(e) = ln e - e^-e = 1 - 1/e^e > 01,72 > 0

Según el teorema de Bolzano, existe un   c ∈ (1, e)   tal que   h(c) = 0 

Es decir,    h(c) = f(c) - g(c) = 0     ⇒     f(c) = g(c)

Por lo tanto las funciones    f(x)   y   g(x)   se cortan en algún punto de dicho intervalo.

El denominador de la función no se anula para ningún valor de   x   puesto que   1 + x² ≥ 1 .

Por lo tanto, la función es continua en el intervalo   [-1, 1] .

Aplicando el teorema de Wierstrass (o teorema del máximo-mínimo), la función alcanza máximo y mínimo absolutos en ese intervalo.

Para calcular los máximos y los mínimos de la función estudiamos entre que valores oscila la función para el intervalo dado.

Es decir, el valor mínimo de la función es   1/2   y el valor máximo   1 .

Para calcular en que puntos se alcanzan el mínimo y el máximo, resolvemos las siguiente igualdades:

Por lo tanto la función alcanza un máximo absoluto en el punto   (0, 1)   y el mínimo absoluto lo alcanza en los puntos   (-1, 1/2)   y   (1, 1/2) .