Ejercicios de integrales de funciones irracionales

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Calculamos el   m.c.m.   de los índices de las raices:            m.c.m.(2 , 4) = 4

Hacemos el cambio de variable:      t⁴ = x + 1

Para deshacer el cambio necesitamos despejar   t²   y   t   :

Calculamos el   m.c.m.   de los índices de las raices:            m.c.m.(2 , 4 , 8) = 8

Hacemos el cambio de variable:      t⁸ = x

      

La primera integral   I₁   es inmediata. La segunda,   I₂  , es una integral de una función racional.
Vamos a resolver la segunda por separado:

Identificando coeficientes se obtiene:

Solución del ejercicio:

Para deshacer el cambio necesitamos despejar   t   ,   t²  ,   t⁴ :

Se trata de una integral de una función racional, por tanto la resolveremos factorizando el denominador y descomponiendo la integral:

Desarrollando la expresión anterior e identificando los coeficientes de   t³  ,   t²   y   t   se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

La primera integral se resuelve con la regla del logaritmo, y la segunda, con la regla de la potencia.
La tercera y cuarta, se descomponen en dos nuevas integrales cada una, las cuales se resuelven mediante la regla de la potencia y de la arcotangente.

Simplificando los resultados se deberá obtener el siguiente resultado: