INICIOAplicación de la integral definida
al cálculo de áreas de figuras planas
Si f(x) y g(x) son funciones continuas en [a, b] y f(x) ≥ g(x) , entonces el área de la región acotada por las gráficas de f(x) y g(x) y las rectas verticales x = a y x = b es :
Área delimitada por dos curvas
CASO I : f(x) > g(x) > 0
1) Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x y g(x) = x2
Calculamos los puntos de corte de ambas funciones:
A continuación vemos cual de las funciones es mayor en cada uno de los intervalos:
Como la función f(x) es mayor que la función g(x) entre los valores 0 y 1 , calculamos el área de la siguiente forma:
2) Hallar el área del recinto limitado por la curva y2 + 2y + x - 3 = 0 y la recta y= 4x + 1
Por la forma que tiene la primera ecuación, para evitar tener que trabajar con radicales al despejar a la incognita y, resulta más conveniente utilizar a y como variable independiente. Despejando x, podemos expresar las ecuaciones como sigue:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
obtenemos que los puntos de corte son los que tienen
Puntos de corte
Si x = 0, 3 - 2y -y2 = 0 ⇔ y = 1 ó y = -3, por tanto, los puntos de corte con el eje de ordenadas son (0,1) y (0,-3)
Si y=0, entonces x=3, de manera que el punto de corte con el eje de abscisas es (3,0).
Teniendo en cuenta todo lo anterior el área del recinto es:
CASO II : f(x) y g(x) son ambas negativas
Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = - x y g(x) = - x2
Calculamos los puntos de corte de ambas funciones:
A continuación vemos cual de las funciones es mayor en cada uno de los intervalos:
Como la función g(x) es mayor que la función f(x) entre los valores 0 y 1 , calculamos el área de la siguiente forma:
CASO III : Curvas que se cortan en más de dos puntos
Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x y g(x) = x3
Calculamos los puntos de corte de ambas funciones:
A continuación vemos cual de las funciones es mayor en cada uno de los intervalos:
| Intervalo | (- ∞, -1) | (-1, 0) | (0, 1) | (1, +∞) |
|---|---|---|---|---|
| Punto de prueba f(x) | f(-3) = - 3 | f(-0,5) = -0,5 | f(0,5) = 0,5 | f(3) = 3 |
| Punto de prueba g(x) | g(-3) = - 27 | g(-0,5) = -0,125 | g(0,5) = 0,125 | g(3) = 27 |
| Comparación | f(x) > g(x) | g(x) > f(x) | f(x) > g(x) | g(x) > f(x) |
Otra forma de ver que función es la mayor en cada uno de los intervalos es realizando la gráfica:
Resumen para determinar el área entre dos curvas
