Área delimitada por una curva    y = f(x)    y el eje de abscisas

CASO  I :   La función    f(x)    es positiva en el intervalo    [a, b]

Hallar por integración el área del triángulo formado por la bisectriz del primer cuadrante al eje    OX    y la recta   x = 4 .  Comparar el resultado con el que se obtiene geométricamente.

El valor de la integral definida entre los valores    x = 0    y    x = 4    es el área encerrada bajo la curva:

CASO  II :   La función    f(x)    es negativa en el intervalo    [a, b]

Hallar el área del recinto limitado por la parábola de la ecuación    y = - x²  ,    el eje    OX    y las rectas    x = 2    y    x = 4 .

El valor de la integral definida entre los valores    x = 2    y    x = 4    es el área encerrada bajo la curva pero cambiada de signo. Es por esta razón por la que se toma el valor absoluto.

CASO  III :   La función    f(x)    cambia de signo en el intervalo    [a, b]

Hallar por integración el área limitada por el eje OX, la curva    y = x² - 4    y las rectas    x = 0    y    x = 4 .

En primer lugar calculamos los puntos de corte con el eje OX de la función:

A continuación estudiamos el signo de la función en cada uno de los intervalos o se dibuja la gráfica de la función:

Como la función entre 0 y 2 es negativa y de 2 a 4 es positiva, hay un recinto que es negativo (de 0 y 2) y otro positivo (de 2 a 4) :

El área es la suma algebráica de las áreas encerradas por la gráfica y el eje   OX   entre los valores   0   y   4 .