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Problemas y ejercicios de definición de límite

 

Límite finito de una función en un punto:

definicion limite

Límite finito de una función en el infinito:

definicion limite

definicion limite


Límite infinito de una función en un punto:

definicion limite

definicion limite

Límite infinito de una función en el infinito:

definicion limite

definicion limite

definicion limite

definicion limite

Utilizando la definición de límite, demuestra que:

ejercicio


Para todo   ε > 0   existe un   δ > 0   tal que si

0 < |x - a| < δ   entonces   |f(x) - L| < ε .

En nuestro caso   |(2x + 3) - 5| < ε      siempre que   |x - 1| < δ .


Puesto que la elección de   δ   depende de   ε  ,

es necesario establecer una conexión entre

|f(x) - 5|   y   |x - 1|   para determinar el valor de   δ .


definicion limite


Por lo tanto hemos demostrado que:

definicion limite

definicion limite



definicion limite

ejercicio


Para todo   ε > 0   existe un   δ > 0   tal que si   0 < |x - a| < δ   entonces   |f(x) - L| < ε .

En nuestro caso   |(5x - 3) - 2| < ε      siempre que   |x - 1| < δ .


Puesto que la elección de   δ   depende de   ε  , es necesario establecer una conexión entre   |f(x) - 2|   y   |x - 1|   para determinar el valor de   δ .

definicion limite


Transformando la desigualdad tenemos que:

definicion limite


Por lo tanto hemos demostrado que:

definicion limite

definicion limite

Utilizando la definición de límite, demuestra que:

ejercicio


Para todo   ε > 0   existe un   δ > 0   tal que si   0 < |x - a| < δ   entonces   |f(x) - L| < ε .

En nuestro caso:

definicion limite

Puesto que la elección de   δ   depende de   ε  , es necesario establecer una conexión entre   |f(x) - 2|   y   |x - 1|   para determinar el valor de   δ .

definicion limite

Si imponemos que   δ   valga como máximo   1   entonces   |x + 1| > 1 , por tanto:

definicion limite

Es decir, bastaría elegir como valor de   δ   aquel que cumpla que   δ/2 < ε   es decir   δ < 2ε .


ejercicio


Para todo   ε > 0   existe un   δ > 0   tal que si   0 < |x - a| < δ   entonces   |f(x) - L| < ε .

En nuestro caso   |x2 - 4| < ε      siempre que   |x - 2| < δ .

Si imponemos la condición que   δ ≤ 1 , tenemos que:

|x - 2| < 1      ⇒      1 < x < 3      ⇒      3 < x + 2 < 5      ⇒      |x + 2| < 5

Es decir:     |x2 - 4| = |x + 2| |x - 2| < 5δ = ε

Hemos demostrado que:

Para todo   ε > 0   existe   δ = ε/5   tal que si   |x - 2| < δ   entonces   |x2 - 4| < ε .


Aplicando la definición de limite, probar que la siguiente función tiene límite    - 1    cuando x → 0

definicion limite

 

Por la izquierda:

definicion limite

Es decir, tenemos que:

definicion limite


Por la derecha:

definicion limite

Por lo tanto tenemos que:

definicion limite


Por ejemplo, para   ε = 0,001

epsilon delta


Hemos demostrado de esta forma que la función   f(x)   tiene como límite   -1   cuando   x   tiende a   0  ,   ya que:

definicion limites laterales

Utilizando la definición de límite, demuestra que:

ejercicio


Para todo   K > 0 ,  existe un   δ > 0   tal que   f(x) > K   siempre que   |x - a| < δ .

En nuestro caso:   

limite infinito

limite infinito

Por lo tanto hemos demostrado que:

limite infinito

limite infinito


ejercicio


Para todo   K > 0 ,  existe un   δ > 0   tal que   f(x) > K   siempre que   |x - a| < δ .

En nuestro caso:   

limite infinito

limite infinito

Por lo tanto hemos demostrado que:

limite infinito

limite infinito


ejercicio


Para todo   K > 0 ,  existe un   δ > 0   tal que   f(x) > K   siempre que   |x - a| < δ .

En nuestro caso:   

limite infinito

limite infinito

Por lo tanto hemos demostrado que:

limite infinito

limite infinito


Utilizando la definición de límite, demuestra que:

ejercicio

Dado   ε = 0,01   halla el valor de   h .


Para todo   ε > 0 ,  existe un   h > 0   tal que   | f(x) - L | < ε.

En nuestro caso:   

definicion limite


limite infinito


Para   ε = 0,01   tenemos que:


limite infinito


ejercicio


Para todo   ε > 0 ,  existe un   h > 0   tal que   | f(x) - L | < ε.

En nuestro caso:   

definicion limite

Para todo   ε > 0   existe un número   h > 0  , tal que siempre que   x > h   se verifica que    1/x < ε .  

Aplicando las propiedades de los números inversos, tenemos que:

definicion limite

Por tanto, podemos tomar como valor de   h   cualquier valor que cumpla la siguiente condición:

definicion limite