Problemas y ejercicios de definición de límite
Límite finito de una función en un punto:
Límite finito de una función en el infinito:
Límite infinito de una función en un punto:
Límite infinito de una función en el infinito:
Utilizando la definición de límite, demuestra que:
Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si
0 < |x - a| < δ entonces |f(x) - L| < ε .
En nuestro caso |(2x + 3) - 5| < ε siempre que |x - 1| < δ .
Puesto que la elección de δ depende de ε ,
es necesario establecer una conexión entre
|f(x) - 5| y |x - 1| para determinar el valor de δ .
Por lo tanto hemos demostrado que:
Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ entonces |f(x) - L| < ε .
En nuestro caso |(5x - 3) - 2| < ε siempre que |x - 1| < δ .
Puesto que la elección de δ depende de ε , es necesario establecer una conexión entre |f(x) - 2| y |x - 1| para determinar el valor de δ .
Transformando la desigualdad tenemos que:
Por lo tanto hemos demostrado que:
Utilizando la definición de límite, demuestra que:
Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ entonces |f(x) - L| < ε .
En nuestro caso:
Puesto que la elección de δ depende de ε , es necesario establecer una conexión entre |f(x) - 2| y |x - 1| para determinar el valor de δ .
Si imponemos que δ valga como máximo 1 entonces |x + 1| > 1 , por tanto:
Es decir, bastaría elegir como valor de δ aquel que cumpla que δ/2 < ε es decir δ < 2ε .
Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ entonces |f(x) - L| < ε .
En nuestro caso |x2 - 4| < ε siempre que |x - 2| < δ .
Si imponemos la condición que δ ≤ 1 , tenemos que:
|x - 2| < 1 ⇒ 1 < x < 3 ⇒ 3 < x + 2 < 5 ⇒ |x + 2| < 5
Es decir: |x2 - 4| = |x + 2| |x - 2| < 5δ = ε
Hemos demostrado que:
Para todo ε > 0 existe δ = ε/5 tal que si |x - 2| < δ entonces |x2 - 4| < ε .
Aplicando la definición de limite, probar que la siguiente función tiene límite - 1 cuando x → 0
Por la izquierda:
Es decir, tenemos que:
Por la derecha:
Por lo tanto tenemos que:
Por ejemplo, para ε = 0,001
Hemos demostrado de esta forma que la función f(x) tiene como límite -1 cuando x tiende a 0 , ya que:
Utilizando la definición de límite, demuestra que:
Para todo K > 0 , existe un δ > 0 tal que f(x) > K siempre que |x - a| < δ .
En nuestro caso:
Por lo tanto hemos demostrado que:
Para todo K > 0 , existe un δ > 0 tal que f(x) > K siempre que |x - a| < δ .
En nuestro caso:
Por lo tanto hemos demostrado que:
Para todo K > 0 , existe un δ > 0 tal que f(x) > K siempre que |x - a| < δ .
En nuestro caso:
Por lo tanto hemos demostrado que:
Utilizando la definición de límite, demuestra que:
Dado ε = 0,01 halla el valor de h .
Para todo ε > 0 , existe un h > 0 tal que | f(x) - L | < ε.
En nuestro caso:
Para ε = 0,01 tenemos que:
Para todo ε > 0 , existe un h > 0 tal que | f(x) - L | < ε.
En nuestro caso:
Para todo ε > 0 existe un número h > 0 , tal que siempre que x > h se verifica que 1/x < ε .
Aplicando las propiedades de los números inversos, tenemos que:
Por tanto, podemos tomar como valor de h cualquier valor que cumpla la siguiente condición: