Las funciones trigonométricas inversas
Para que una función tenga inversa, esta función tiene que ser inyectiva.
Las funciones trigonométricas no son inyectivas en todo su dominio, sólo en algunos intervalos, como se puede observar en la gráfica correspondiente.
f(x) = tg x es inyectiva en [-π/2, π/2] .
La función arcotangente
La función inversa de la función tangente f(x) = tg x se denomina arcotangente y se representa por f-1(x) = arc tg x o f-1(x) = tg-1(x) . Esta función da el valor del ángulo conociendo el valor de la tangente.
El arcotangente de x es un ángulo cuya tangente es x .
1) Su dominio es R .
2) Su recorrido es (-π/2, π/2) .
3) Puntos de corte: La gráfica pasa por el punto (0, 0).
4) Es creciente en todo su dominio.
5) Es una función impar.
6) Está acotada inferiormente por y = -π/2 y superiormente por y = π/2 .
7) La función tiene asintotas horizontales en y = -π/2 e y = π/2 .
No confundir:
La composición entre el seno y el arcocoseno es la identidad:
Ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x .
Hallar arc tg (√3/3)
Se busca un ángulo α en el intervalo (-π/2, π/2) para el cual:
Por lo tanto, tenemos que:
La función arcotangente es la función inversa de la función tangente, luego en general (dentro de su dominio) se tiene que:
arc tg ( tg(x) ) = x
Por tanto: