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Ejercicios de funciones racionales

Representa la siguiente función racional con todas sus características y halla la constante  k   de proporcionalidad inversa:


y =5/x



k = 5


1)   Tipo de función:   es una función racional de proporcionalidad inversa, cuya gráfica corresponde a una hipérbola equilátera.


2)   Dominio:   como es una función racional, Dom(f) = R - {0} .


3)   Recorrido o imagen:   Im(f) = (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) .


4)   Continuidad:   es discontinua en   x = 0 .


5)   Simetría:


        f(- x) = 5/(- x) = - (5/x) = - f(x)


        La función f es simétrica impar.


6)   Corte con los ejes:


        Las funciones racionales de proporcionalidad inversa no corta a los ejes.


7)   Signo:


        Como   k > 0   es negativa en   (- ∞, 0)   y positiva en   (0, + ∞) .


8)   Monotonía:


        Como   k > 0   la función es decreciente en:   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞)


9)   Máximos y mínimos relativos:


          La función no tiene ni máximos ni mínimos.


10)   Curvatura y puntos de inflexión:


          Como   k > 0  , la función es convexa en   (- ∞ 0)   y concava en   (0, + ∞) .


11)   Asíntotas:


          La función tiene una asíntota horizontal en   y = 0 .


          asintota horizontal



          La función tiene una asíntota vertical en   x = 0

          (valor que anula al denominador)


          asintota vertical


12)   Acotación:


          La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.



          tabla valores



          grafica racional


          Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 5 unidades cuadradas.


Representa la siguiente función racional con todas sus características y halla la constante  k   de proporcionalidad inversa:


y = - 2/x



k = - 2


1)   Tipo de función:   es una función racional de proporcionalidad inversa, cuya gráfica corresponde a una hipérbola equilátera.


2)   Dominio:   como es una función racional, Dom(f) = R - {0} .


3)   Recorrido o imagen:   Im(f) = (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) .


4)   Continuidad:   es discontinua en   x = 0 .


5)   Simetría:


        f(- x) = -2/(- x) = 2/x = - f(x)


        La función f es simétrica impar.


6)   Corte con los ejes:


        Las funciones racionales de proporcionalidad inversa no corta a los ejes.


7)   Signo:


        Como   k < 0   es negativa en   (- ∞, 0)   y positiva en   (0, + ∞) .


8)   Monotonía:


        Como   k < 0   la función es creciente en:   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞)


9)   Máximos y mínimos relativos:


          La función no tiene ni máximos ni mínimos.


10)   Curvatura y puntos de inflexión:


          Como   k < 0  , la función es concava en   (- ∞ 0)   y convexa en   (0, + ∞) .


11)   Asíntotas:


          La función tiene una asíntota horizontal en   y = 0 .


          asintota horizontal



          La función tiene una asíntota vertical en   x = 0

          (valor que anula al denominador)


          asintota vertical


12)   Acotación:


          La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.



          tabla valores



          grafica racional


          Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 2 unidades cuadradas.


Dibuja la siguiente hipérbola y sus asíntotas y calcula la constante   k :   y = (x - 3) / (x + 1)


funcion racional


division


division


division




Por lo tanto, podemos expresar la función original de la siguiente forma:


funcion racional


k = - 4


•   La función tiene una asíntota horizontal en   y = 1 .


    asintota vertical


•   La función tiene una asíntota vertical en   x = - 1

   (valor que anula al denominador y no anula al numerador)


La función corresponde a una transformación de la función   f(x) = - 4 / x


y = f(x + 1) + 1


Es decir, es una traslación horizontal una unidad hacia la izquierda y una unidad hacia arriba.



          grafica racional


Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 4 unidades cuadradas.


Dibuja la siguiente hipérbola y sus asíntotas y calcula la constante   k :   y = (2x - 5) / (x - 2)


funcion racional


division


division


division




Por lo tanto, podemos expresar la función original de la siguiente forma:


funcion racional


k = - 1


•   La función tiene una asíntota horizontal en   y = 2 .


    asintota horizontal


•   La función tiene una asíntota vertical en   x = 2

   (valor que anula al denominador y no anula al numerador)


La función corresponde a una transformación de la función   f(x) = - 1 / x


y = f(x - 2) + 2


Es decir, es una traslación horizontal dos unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba.



          grafica racional


Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 1 unidad cuadrada.


Escribe la fórmula de la siguiente hipérbola:


grafica racional


Por la gráfica observamos que la función es decreciente, por lo tanto tenemos que   k > 0 .


Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área   k   unidades cuadradas.


Por lo tanto, tenemos que   k = 3 .


Además, la gráfica tiene una asíntota vertical   y = 4   y una asíntota horizontal en   x = 0 .


Es decir, la gráfica es una traslación horizontal hacía la derecha en cuatro unidades de la función   f(x) = 3/x .


Por lo tanto, la función que buscamos es   f(x - 4) :


          funcion racional


Escribe la fórmula de la siguiente hipérbola:


grafica racional


Por la gráfica observamos que la función es creciente, por lo tanto tenemos que   k < 0 .


Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área   k   unidades cuadradas.


Por lo tanto, tenemos que   k = - 1 .


Además, la gráfica tiene una asíntota vertical   y = - 2   y una asíntota horizontal en   x = - 3 .


Es decir, la gráfica es una traslación horizontal hacía la izquierda en dos unidades y vertical hacía abajo en tres unidades de la función   f(x) = - 1/x .


Por lo tanto, la función que buscamos es   f(x + 2) - 3 :


          funcion racional


Representa la siguiente función racional:   y = 3 / (x - 1)2


funcion racional


1) Los valores que anulan al denominador son:


         (x - 1)2 = 0     ⇔     x - 1 = 0     ⇔     x = 1


          Dom(f) = R - {1}


2) Como   k = 3 > 0 :     Im(f) = (0 , ∞)


3) Corta al eje de ordenadas en el punto :


          k = 3  ,  a = 1     ⇒     (0 , 3)


4) Es discontinua en el punto :     x = 1


5) Como  k = 3 > 0 :     está acotada inferiormente por   y = 0 .


6) Como  a ≠ 0 :     no tiene simetría par ni impar.


7) Como  k > 0 :


         La función es estrictamente creciente en   (-∞ , 1).


         La función es estrictamente decreciente en   (1 , ∞).


8) No tiene periodicidad.


9) No tiene extremos relativos.


10) Tabla de valores:


      tabla_de_valores




grafica_funcion

Representa la siguiente función racional:   y = - 4 / (x - 3)2


funcion racional


1) Los valores que anulan al denominador son:


         (x - 3)2 = 0     ⇔     x - 3 = 0     ⇔     x = 3


          Dom(f) = R - {3}


2) Como   k = - 4 < 0 :     Im(f) = (-∞, 0)


3) Corta al eje de ordenadas en el punto :


          k = - 4  ,  a = 3     ⇒     (0 , -4/9)


4) Es discontinua en el punto :     x = 3


5) Como  k = - 4 < 0 :     está acotada superiormente por   y = 0 .


6) Como  a ≠ 0 :     no tiene simetría par ni impar.


7) Como  k < 0 :


         La función es estrictamente decreciente en   (-∞ , 3).


         La función es estrictamente creciente en   (3 , ∞).


8) No tiene periodicidad.


9) No tiene extremos relativos.


funcion racional

Representa la siguiente función racional:   y = - 3 / (x - 2)3


funcion racional


La función es una traslación horizontal hacía la derecha en dos unidades de la función   f(x) = - 3 / x3


Es decir:   y = f(x - 2) = - 3 / (x - 2)3


1)   Tipo de función:   es una función racional .


2)   Dominio:   como es una función racional, Dom(f) = R - {2} 


3)   Recorrido o imagen:   Im(f) = (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) 


4)   Continuidad:   es discontinua en   x = 2 .


5)   Corte con los ejes:


       •   y = 0   ⇒   La función corta el eje Y en el punto   (0, 3/8) ,   ya que    f(0) = 3/8


       •   x = 0   ⇒   La función no corta el eje X .


6)   Monotonía:


       Como   k = - 3 < 0      la función es creciente en:   (- ∞, 2) ∪ (2, + ∞)


7)   Asíntotas:


       La función tiene una asíntota horizontal en   y = 0 .


       La función tiene una asíntota vertical en   x = 2 .

       (valor donde se anula el denominador y no se anula el numerador)



       tabla valores


       funcion racional


Funciones racionales del tipo:   k / xn