INICIOAplicaciones de funciones
- 1. Rectángulo
- 2. Cuadrado, triang.
- 3. Rect. inscrito
- 4. Octógono
- 5. Triang. inscrito
- 6. Prisma
- 7. Cilindro
El perímetro de un rectángulo es 30 m . Expresa el área del rectángulo en función de su largo y halla su dominio.
Estblecemos las dimensiones del rectángulo: x = largo , y = ancho
Perímetro: 2x + 2y = 30 ⇔ x + y = 15 ⇔ y = 15 - x
Área: A = xy
Sustituimos por y = 15 - x en la ecuación del área y despejamos:
A = x(15 - x) = 15x - x2
La función del área según la variable x es:
A(x) = 15x - x2
Dominio:
La variable x tiene que ser positiva ya que se trata de una magnitud de dimensión, por tanto: x ≥ 0
Además, el valor del largo no puede ser mayor que 15, ya que en ese caso el ancho sería negativo (y = 15 - x).
Dom(A) = [0 , 15]
Se considera un cuadrado de lado x y un triángulo equilátero de área S . El lado del triángulo es igual a la diagonal (d) del cuadrado. Se pide:
a) Expresar d en función (f1) de x .
b) Expresar S en función (f2) de d .
c) Expresar S en función (f) de x .
Halla el dominio de cada función.
a) Expresar d en función (f1) de x . Halla el dominio de la función.
Aplicando el teorema de Pitágoras a la diagonal del cuadrado obtenemos:
Como las magnitudes tienen que ser valores positivos: Dom(f1) = [0 , ∞)
b) Expresar S en función (f2) de d . Halla el dominio de la función.
Para calcular el área del triángulo (S) necesitamos su altura.
Aplicando el teorema de Pitágoras a la altura del triángulo obtenemos:
Ahora calculamos S:
Como las magnitudes tienen que ser valores positivos: Dom(f2) = [0 , ∞)
c) Expresar S en función (f) de x . Halla el dominio de la función.
Por el apartado b): S = f2(d)
A su vez, por el apartado a) tenemos que: d = f1(x)
Sustituyendo:
Como las magnitudes tienen que ser valores positivos: Dom(f) = [0 , ∞)
En una circunferencia de 7 cm de radio se inscribe un rectángulo de base x . Expresa el área en función de x . ¿Cuál es su dominio?
Si el radio de la circunferencia es de 7 cm, su diámetro medirá: 14 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras al diámetro de la circunferencia:
Para obtener una expresión en función de la variable x , despejamos la variable y :
El área del rectángulo viene dada por la función:
Al ser x la medida de un lado del rectángulo, el dominio de la función es:
Dom(f) = [0 , 14]
De un cuadrado de 10 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden x .
a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x .
b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?
a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x .
Podemos calcular el área del octógono restando:
A = (Área cuadrado) - (Área de los 4 triángulos)
Calculamos el área de uno de los triángulos (los 4 son iguales):
Área del cuadrado:
Ac = 102 = 100
Área del octógono:
b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?
Como el lado del cuadrado mide 10 cm. , la variable x podrá valer como máximo la mitad del lado, es decir 5 cm. : Dom(f) = [0 , 5]
Y su recorrido: Im(f) = [50 , 100]
El radio de una circunferencia mide 5 cm . Expresar el área de un triángulo isósceles inscrito en el mismo en función de la medida x de la semibase. ¿Cuál es el dominio?
Para calcular el área del triángulo necesitamos conocer el valor de la altura : h = r + a
El radio r lo conocemos, así que vamos a calcular a aplicando el teorema de pitágoras:
Altura del triángulo:
Área del triángulo:
El área del triángulo viene dado por la función:
La función que determina el área está bien definida en:
Dom(f) = [0 , 5]
Se quieren construir cajas de base cuadrada cuyo volumen debe de ser de 15 litros . Expresa la altura de la caja en función del lado de la base x . Expresa también el área total de la caja en función de x .
Volumen de la caja:
La altura de la caja viene dada por la función:
Ésta función está bien definida en: Dom(f) = (0 , ∞)
Área total de la caja (S):
S = 4 · (Área lateral) + 2 · (Área de la base)
La superficie de la caja viene dada por la función:
La función que determina la superficie de la caja está bien definida en: Dom(g) = (0 , ∞)
Un comerciante quiere construir barriles de forma cilíndrica que tengan 20 litros de capacidad. Expresar la altura del barril en función del radio de la base r . Expresar también el área total del barril en función del radio r .
Como conocemos el volumen del cilindro, vamos a usar la fórmula del volumen y despejamos la altura h :
V = (Área de la base) · (altura)
La altura del cilindro viene dada por la función:
Esta función está bien definida en: Dom(f) = (0 , ∞)
Hallamos la superficie, o área total, del cilindro:
S = 2 · (Área de la base) + (Área lateral)
Área de la base: πr2
Área lateral: 2πr · h
El área total del cilindro viene dado por la función:
Esta función está bien definida en: Dom(g) = (0 , ∞)