Ejercicios resueltos de Programación Lineal
1) Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función
con las siguientes restricciones:
2) Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función
con las siguientes restricciones:
3) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 2x + y sujeta a:
4) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = x + y sujeta a:
5) Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 12x + 4y sujeta a:
6) Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 10x + 30y sujeta a:
7) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 4x + 5y sujeta a:
8) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de:
sujeta a:
1) Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función
con las siguientes restricciones:
Seguimos los pasos del método:
- Se representa gráficamente la región factible
- Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.
- Como el máximo o el mínimo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor óptimo.
- Si se trata de maximizar elegiremos el vértice que hace mayor la función objetivo y si se trata de minimizar elegiremos el vértice que hace menor la función objetivo.
El máximo de F(x,y) se alcanza en A = (0,5) y el mínimo en B = (0 , 3).
2) Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función
con las siguientes restricciones:
Seguimos los pasos del método:
- Se representa gráficamente la región factible
- Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.
- Como el máximo o el mínimo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor óptimo.
- Si se trata de maximizar elegiremos el vértice que hace mayor la función objetivo y si se trata de minimizar elegiremos el vértice que hace menor la función objetivo.
El máximo de G(x,y) se alcanza en A = (0,5) y el mínimo en C = (3 , 2).
3) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 2x + y sujeta a
Empezamos observando que la tercera condición es redundante. En efecto,
Por tanto bastará con que consideremos las restricciones
Teniendo esto en cuenta podemos pasar a la resolución del problema mediante el método analítico. Seguimos los pasos del método:
- Se representa gráficamente la región factible
Observamos que la región factible no está acotada superiormente, de manera que no existirá el máximo.
- Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.
- El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.
- El mínimo de F(x,y) se alcanza en A = (2,7) y el máximo no existe.
4) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = x + y sujeta a:
Seguimos los pasos del método analítico:
- Se representa gráficamente la región factible
Observamos que la región factible no está acotada superiormente, de manera que no existirá el máximo.
- Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.
- El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.
- El mínimo de F(x,y) se alcanza en A y C, de manera que también se alcanza en todos los puntos del segmento AC y además vale 5.
5) Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 12x + 4y sujeta a:
F(x,y) = ax + by | Maximizar | Minimizar |
---|---|---|
b > 0 | El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene mayor ordenada en el origen | El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen |
b < 0 | El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen | El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel recta tiene mayor ordenada en el origen |
Seguimos los pasos del método gráfico:
- Se representa la recta 3 x + y = 0 (que es la misma que la recta 12x + 4y = 0).
- Se trazan rectas paralelas a esta recta que pasen por cada uno de los vértices de la región factible. Tras los dos primeros pasos obtenemos la siguiente representación gráfica:
- Para la función F(x,y) = 3x + y = 0, tenemos que b > 0.
- Para maximizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta 3x + y = 0 con mayor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice B. Por tanto la función alcanza su máximo en el vértice B.
- Para minimizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta 3x + y = 0 con menor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice D. Por tanto la función alcanza su mínimo en el vértice D.
- Calculamos los vértices elegidos en el paso anterior:
6) Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 10x + 30y sujeta a:
F(x,y) = ax + by | Maximizar | Minimizar |
---|---|---|
b > 0 | El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene mayor ordenada en el origen | El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen |
b < 0 | El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen | El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel recta tiene mayor ordenada en el origen |
Seguimos los pasos del método gráfico:
- Se representa la recta x + 3y = 0 (que es la misma que la recta 10x + 30y = 0).
- Se trazan rectas paralelas a esta recta que pasen por cada uno de los vértices de la región factible. Tras los dos primeros pasos obtenemos la siguiente representación gráfica:
- Para la función F(x,y) = x + 3y , tenemos que b > 0.
- Para maximizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta x + 3y = 0 con mayor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice B. Por tanto la función alcanza su máximo en el vértice C.
- Para minimizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta x + 3y = 0 con menor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice D. Por tanto la función alcanza su mínimo en el vértice F.
- Calculamos los vértices elegidos en el paso anterior:
7) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de F(x,y) = 4x + 5y sujeta a:
Observamos que las restricciones se pueden reescribir de forma equivalente como sigue:
Teniendo esto en cuenta podemos pasar a la resolución del problema mediante el método analítico. Seguimos los pasos del método:
- Se representa gráficamente la región factible
- Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.
- El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.
- El mínimo de F(x,y) se alcanza en A y vale 80/3.
El máximo de F(x,y) se alcanza en B y en C de manera que también se alcanza en todos los puntos del segmento BC y además vale 40.
8) Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de
sujeta a
Seguimos los pasos del método analítico:
- Se representa gráficamente la región factible
- Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.
- El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.
- El máximo de F(x,y) se alcanza en C y vale 50/3.
El mínimo de F(x,y) se alcanza en A y en E de manera que también se alcanza en todos los puntos del segmento AE y además vale 2.