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Ejercicios resueltos de Programación Lineal

1)   Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función



con las siguientes restricciones:


2)   Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función



con las siguientes restricciones:


3)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 2x + y   sujeta a:


4)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = x + y   sujeta a:


5)   Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 12x + 4y   sujeta a:


6)   Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 10x + 30y   sujeta a:


7)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 4x + 5y   sujeta a:


8)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de:



sujeta a:

1)   Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función



con las siguientes restricciones:


Seguimos los pasos del método:

  1. Se representa gráficamente la región factible



  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.



  3. Como el máximo o el mínimo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor óptimo.



  4. Si se trata de maximizar elegiremos el vértice que hace mayor la función objetivo y si se trata de minimizar elegiremos el vértice que hace menor la función objetivo.

    El máximo de F(x,y) se alcanza en A = (0,5) y el mínimo en B = (0 , 3).

2)   Maximiza y minimiza mediante el método analítico la función



con las siguientes restricciones:


Seguimos los pasos del método:

  1. Se representa gráficamente la región factible



  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.



  3. Como el máximo o el mínimo se alcanza en uno de estos puntos, se evalúa la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor óptimo.



  4. Si se trata de maximizar elegiremos el vértice que hace mayor la función objetivo y si se trata de minimizar elegiremos el vértice que hace menor la función objetivo.

    El máximo de G(x,y) se alcanza en A = (0,5) y el mínimo en C = (3 , 2).


3)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 2x + y   sujeta a


Empezamos observando que la tercera condición es redundante. En efecto,

Por tanto bastará con que consideremos las restricciones

Teniendo esto en cuenta podemos pasar a la resolución del problema mediante el método analítico. Seguimos los pasos del método:

  1. Se representa gráficamente la región factible



    Observamos que la región factible no está acotada superiormente, de manera que no existirá el máximo.

  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.



  3. El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.



  4. El mínimo de F(x,y) se alcanza en A = (2,7) y el máximo no existe.

4)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = x + y   sujeta a:


Seguimos los pasos del método analítico:

  1. Se representa gráficamente la región factible



    Observamos que la región factible no está acotada superiormente, de manera que no existirá el máximo.

  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.




  3. El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.



  4. El mínimo de F(x,y) se alcanza en A y C, de manera que también se alcanza en todos los puntos del segmento AC y además vale 5.

5)   Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 12x + 4y   sujeta a:


F(x,y) = ax + by Maximizar Minimizar
b > 0 El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene mayor ordenada en el origen El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen
b < 0 El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel recta tiene mayor ordenada en el origen

Seguimos los pasos del método gráfico:

  1. Se representa la recta 3 x + y = 0 (que es la misma que la recta 12x + 4y = 0).

  2. Se trazan rectas paralelas a esta recta que pasen por cada uno de los vértices de la región factible. Tras los dos primeros pasos obtenemos la siguiente representación gráfica:




  3. Para la función F(x,y) = 3x + y = 0, tenemos que b > 0.
    • Para maximizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta 3x + y = 0 con mayor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice B. Por tanto la función alcanza su máximo en el vértice B.
    • Para minimizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta 3x + y = 0 con menor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice D. Por tanto la función alcanza su mínimo en el vértice D.
  4. Calculamos los vértices elegidos en el paso anterior:



6)   Resuelve de forma gráfica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 10x + 30y   sujeta a:


F(x,y) = ax + by Maximizar Minimizar
b > 0 El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene mayor ordenada en el origen El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen
b < 0 El máximo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel tiene menor ordenada en el origen El mínimo es, si existe, el vértice cuya línea de nivel recta tiene mayor ordenada en el origen

Seguimos los pasos del método gráfico:

  1. Se representa la recta x + 3y = 0 (que es la misma que la recta 10x + 30y = 0).

  2. Se trazan rectas paralelas a esta recta que pasen por cada uno de los vértices de la región factible. Tras los dos primeros pasos obtenemos la siguiente representación gráfica:




  3. Para la función F(x,y) = x + 3y , tenemos que b > 0.
    • Para maximizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta x + 3y = 0 con mayor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice B. Por tanto la función alcanza su máximo en el vértice C.
    • Para minimizar la función bastará con tomar el vértice por el cual pasa la paralela a la recta x + 3y = 0 con menor ordenada en el origen. Dicho vértice es el vértice D. Por tanto la función alcanza su mínimo en el vértice F.
  4. Calculamos los vértices elegidos en el paso anterior:



7)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de   F(x,y) = 4x + 5y   sujeta a:


Observamos que las restricciones se pueden reescribir de forma equivalente como sigue:

Teniendo esto en cuenta podemos pasar a la resolución del problema mediante el método analítico. Seguimos los pasos del método:

  1. Se representa gráficamente la región factible





  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.




  3. El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.



  4. El mínimo de F(x,y) se alcanza en A y vale 80/3.
    El máximo de F(x,y) se alcanza en B y en C de manera que también se alcanza en todos los puntos del segmento BC y además vale 40.

8)   Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal:
Máximo y mínimo de



sujeta a


Seguimos los pasos del método analítico:

  1. Se representa gráficamente la región factible





  2. Se calculan los vértices de la región factible. Dichos vértices serán las intersecciones de las rectas frontera de cada restricción que además verifiquen todas las restricciones.




  3. El mínimo se alcanza en uno de estos puntos. Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos, para ver en cuál se obtiene el mínimo.



  4. El máximo de F(x,y) se alcanza en C y vale 50/3.
    El mínimo de F(x,y) se alcanza en A y en E de manera que también se alcanza en todos los puntos del segmento AE y además vale 2.