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Ejercicios resueltos de Selectividad de determinantes

•Ejercicios de determinantes:

1)   Calcula los determinantes de las siguientes matrices:


2)   Resuelve las siguientes ecuaciones:


3)   Sea A una matriz cuadrada de orden 3.

a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8. ¿Cuánto vale el determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.
b) Calcula para qué valores de  x  se cumple que |2A| = 8, siendo A la matriz:


4)   Resolver, sin desarrollar, aplicando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes:



•Ejercicios de propiedades de determinantes:

5)   Calcula sin desarrollar, los determinantes de las siguientes matrices:


6)   De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2x2, señala las que son correctas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan:


7)   Sabiendo que:

Calcula el valor de los siguientes determinantes:


8)   Sean las matrices:

Comprueba si se verifican las siguientes igualdades:



•Ejercicios de determinantes de orden n

9)   Calcula el siguiente determinante empleando el método de Gauss:


10)   Calcula el siguiente determinante:

a)   Por definición
b)   Por el método pivotal (haciendo ceros)
c)   Por el método de Gauss


11)   Dado el determinante:

a)   Halla su valor mediante el desarrollo por la primera fila
b)   Calcula su valor mediante el desarrollo de la cuarta columna
c)   Comprueba que los resultados obtenidos coinciden


12)   Halla, en función de a, el valor de los determinantes siguientes:


13)   Averiguar según el valor de   a   el número de raíces reales que tiene la ecuación:



•Ejercicios de cálculo de inversa por determinantes:

14)   Calcula la inversa de la matriz


15)   Calcula la matriz inversa de:


16)   ¿Para qué valores de x es la siguiente matriz inversible?

Para dichos valores de x calcula la correspondiente matriz inversa.


17)   Sea la matriz

a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa.
b) Haciendo m = 4, resuelva la ecuación matricial


18)   Sea la matriz:

a) Calcule los valores de   m   para que tenga inversa
b) Haciendo   m = 0   resuelva la ecuación matricial   A·X·A = I
donde I es la matriz unidad de orden 2 y X una matriz cuadrada de orden 2


19)   Estudia para qué valores de   m   la matriz:

tiene inversa. Halla la matriz  A-1   para   m = 4



•Ejercicios de cálculo de rango por determinantes:

20)   Calcular, utilizando determinantes, el rango de las siguientes matrices:


21)    Estudiar el rango de las siguientes matrices utilizando determinantes:


22)   Hallar el rango de la siguiente matriz:


23)   Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas:


24)   Si

a) Prueba que para cualquier valor de a y b, rg(A) ≥ 2
b) Determina un par de valores para los cuales rg(A) = 3 y otro par de valores para los cuales rg(A) = 4



•Ejercicios de ecuaciones matriciales con determinantes:

25)   Sea k un número natural y sean las matrices

a) Calcular Ak
b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación AkX = BC


26)   Sea la matriz

a) Calcule los valores de m para que tenga inversa
b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial    A·X·A = I2    donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y    X es una matriz cuadrada de orden 2.


27)
a) Despeja la matriz X en la ecuación AX - X = BX + C

b) Halla la matriz X sabiendo que:


28)   Dada la matriz A:

a) Halla su inversa.
b) Resuelve la ecuación:

1)   Calcula los determinantes de las siguientes matrices:


2)   Resuelve las siguientes ecuaciones:


3)   Sea A una matriz cuadrada de orden 3.

a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8. ¿Cuánto vale el determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.
b) Calcula para qué valores de  x  se cumple que |2A| = 8, siendo A la matriz:


(a)

Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de la matriz, su determinante queda multiplicado por ese número elevado al orden de la matriz, en este caso, orden 3.


(b)

4)   Resolver, sin desarrollar, aplicando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes:


Sacando  a   factor común de los elementos de la primera fila,  b   de la segunda y   c   de la tercera, obtenemos:

Mediante transformaciones llegamos a:

Desarrollando el determinante por la primera columna tenemos que:


Podríamos haber resuelto el determinante de una manera más fácil considerando un determinante de Vandermonde:

Por las propiedades de los determinantes, el valor del determinante es el mismo si trasponemos la matriz, es decir:

El determinante de Vandermonde de orden 4 es:

5)   Calcula sin desarrollar, los determinantes de las siguientes matrices:


6)   De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2x2, señala las que son correctas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan:


7)   Sabiendo que:

Calcula el valor de los siguientes determinantes:


8)   Sean las matrices:

Comprueba si se verifican las siguientes igualdades:



9)   Calcula el siguiente determinante empleando el método de Gauss:



10)   Calcula el siguiente determinante:

a)   Por definición
b)   Por el método pivotal (haciendo ceros)
c)   Por el método de Gauss






11)   Dado el determinante:

a)   Halla su valor mediante el desarrollo por la primera fila
b)   Calcula su valor mediante el desarrollo de la cuarta columna
c)   Comprueba que los resultados obtenidos coinciden


12)   Halla, en función de a, el valor de los determinantes siguientes:




13)   Averiguar según el valor de   a   el número de raíces reales que tiene la ecuación:



 


 

14) Calcula la inversa de la matriz


Una matriz es inversible si y sólo si su determinante es no nulo.

15) Calcula la matriz inversa de:


Una matriz es inversible si y sólo si su determinante es no nulo.

 

16) ¿Para qué valores de x es la siguiente matriz inversible?

Para dichos valores de x calcula la correspondiente matriz inversa.


Una matriz es inversible si y sólo si su determinante es no nulo.

Vemos que

de manera que la matriz B es inversible. Calculamos ahora su inversa:

17) Sea la matriz

a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa.
b) Haciendo m = 4, resuelva la ecuación matricial


Una matriz es inversible si y sólo si su determinante es no nulo.

a)

Bastará con que calculemos el determinante de A y veamos para qué valores de m se anula:

Observamos que A será inversible si y sólo si m≠ -5 y m≠-3.

b)

Si m = 4, por el apartado anterior, A es inversible, de manera que la ecuación que nos piden resolver tiene solución. En efecto, basta multiplicar ambos miembros de la identidad por la derecha por A-1:

X · A = (3    1    1)        ⇒       X · A · A-1= (3    1    1) · A-1     ⇒      X = (3    1    1) · A-1

Empezamos calculando la inversa de A:

Efectuamos la operación para obtener el valor de X:

18) Sea la matriz:

a) Calcule los valores de   m   para que tenga inversa
b) Haciendo   m = 0   resuelva la ecuación matricial   A·X·A = I
donde I es la matriz unidad de orden 2 y X una matriz cuadrada de orden 2


a)

Calculamos el determinante de A y lo igualamos a 0:

No existe ningún valor de   m   que verifique la ecuación, por lo que la matriz A tiene inversa para cualquier valor de   m.

b)

Resolvemos la ecuación matricial haciendo   m = 0

19) Estudia para qué valores de   m   la matriz:

tiene inversa. Halla la matriz  A-1   para   m = 4


Para que A tenga inversa, tiene que darse que |A| ≠ 0


Por lo tanto, la matriz A tiene inversa para cualquier valor de m distinto de 3 y de -7.


Si   m = 4   tenemos que:


A continuación calculamos su determinante:


Por otra parte calculamos su matriz adjunta:


Ahora podemos calcular la matriz inversa:

20) Calcular, utilizando determinantes, el rango de las siguientes matrices:

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Empezamos por la matriz A. Como es de orden 3, sabemos que el rg(A) ≤ 3. Observamos además que

de manera que rg(A)=3.

Estudiamos ahora el caso de la matriz B. Como es de orden 4 × 3, tenemos que su rango puede ser a lo sumo 3. Observamos que

es decir, B contiene un menor de orden 3 no nulo. Esto nos dice que su rango es al menos 3. Como rg(B) ≤ 3, entonces rg(B) = 3.

Estudiamos ahora la matriz C. Como es de orden 3 × 6, tenemos que su rango puede ser a lo sumo 3. Observamos que

es decir, C contiene un menor de orden 3 no nulo. Esto nos dice que su rango es al menos 3. Como rg(C) ≤ 3, entonces rg(C) = 3.

Para la matriz D, como es de orden 4 × 6, tenemos que su rango puede ser a lo sumo 4. Observamos que

es decir, C contiene un menor de orden 4 no nulo. Esto nos dice que su rango es al menos 4. Como rg(D) ≤ 4, entonces rg(D) = 4.

el rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

21)    Estudiar el rango de las siguientes matrices utilizando determinantes:

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Empezamos por la matriz A. Dicha matriz tiene orden 2 × 3, de manera que su rango puede ser a lo sumo 2. Observamos que

es decir, la matriz A contiene un menor de orden 2. Esto nos dice que rg(A)≥ 2. Por otra parte, el rango de A puede ser a lo sumo 2. Por tanto rg(A) = 2.

Estudiamos ahora la matriz B. Su orden es 3 × 2, por lo cual su rango puede ser como mucho 2. Utilicemos el método de orlado. Observamos que |a11| = 6 es un menor de orden 1. Calculemos sus menores orlados:

Observamos que son todos nulos. Por tanto rg(B) = 1.

Trabajamos ahora con la matriz C. Como su orden es 3, tendrá rango a lo sumo 3. Como es una matriz cuadrada conviene empezar calculando el determinante de C.

Como el determinante es nulo, buscamos si hay algún menor de orden 2 no nulo. Vemos que

es un menor de orden 2 no nulo. Por tanto la matriz tiene rango 2.

En el caso de la matriz D, como su orden es 3 podrá tener orden como mucho 3. Dado que es una matriz cuadrada, empezamos calculando su determinante:

Como el determinante es no nulo, el rango de la matriz será 3.

Nos detenemos ahora a estudiar la matriz E. Vemos que su orden es 3 × 4 por lo cual su rango puede ser a lo sumo 3. Observamos que

es decir, la matriz E contiene un menor de orden 2 no nulo, de manera que rg(E) ≥ 2. Estudiamos ahora los orlados de dicho menor:

Como son ambos nulos, obtenemos que rg(E) = 2.

Para acabar, estudiamos la matriz F. Su orden es 2 × 4, de forma que su rango puede ser como mucho 2. Vemos que

es decir, F contiene un menor de orden 2 no nulo, por lo cual rg(F) ≥ 2. Como el rango de F puede ser como mucho 2, necesariamente rg(F)=2.

el rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

22) Hallar el rango de la siguiente matriz:

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Observamos que

de manera que el rango de la matriz es 3.

el rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

23) Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas:

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

(1)

Empezamos por A. Como la matriz es cuadrada conviene empezar calculando |A| y viendo cuando se anula en función del parámetro a:

Como vemos, esto ocurre si y sólo si a = 2. Por tanto si a ≠ 2, tenemos que rg(A) = 2. Si a = 2, entonces |A| = 0, de manera que el rango puede ser a lo sumo 2. En este caso,

y vemos que hay un menor de orden 2 no nulo:

Por tanto rg(A) = 2 cuando a = 2. En resumen:

(2)

Seguimos por la matriz B. Como la matriz es cuadrada conviene empezar calculando |B| y viendo cuando se anula en función del parámetro a:

Como vemos, esto ocurre si y sólo si a = 0     o    a = 1/2. Por tanto si a ∉ {1/2 , 0}, tenemos que rg(B) = 3. Si a = 0     o    a = 1/2, entonces |B| = 0, de manera que el rango puede ser a lo sumo 2. Estudiemos estos casos. Si a = 0,

y vemos que hay un menor de orden 2 no nulo:

Por tanto rg(B) = 2 cuando a = 0.

Si a = 1/2, entonces

y vemos que hay un menor de orden 2 no nulo:

Por tanto rg(B) = 2 cuando a = 1/2.

En resumen:

(3)

Estudiamos ahora el caso de la matriz C. Como la matriz es cuadrada conviene empezar calculando |C| y viendo cuando se anula en función del parámetro a:

Como vemos, esto ocurre si y sólo si a = -8     o    a = 1. Por tanto si a ∉ {1 , -8}, tenemos que rg(C) = 3. Si a = 1     o    a = -8, entonces |C| = 0, de manera que el rango puede ser a lo sumo 2.

Nos percatamos ahora de que existe un menor no nulo de orden 2 que no depende del valor de a:

de manera que rg(C) ≥ 2 para todo a. En particular si a = -8     o    a = 1, sabemos que el rango es necesariamente menor o igual que 2, de manera que rg(C) = 2 cuando a = -8     o    a = 1.

En resumen:

(4)

Acabamos el ejercicio estudiando el rango de la matriz D. Nuevamente, como la matriz es cuadrada conviene empezar calculando |D| y viendo cuando se anula en función del parámetro a:

Como vemos, esto ocurre si y sólo si a = -1     o    a = 1. Por tanto si a ∉ {1 , -1}, tenemos que rg(A) = 3. Si a = 1     o    a = -1, entonces |D| = 0, de manera que el rango puede ser a lo sumo 2. Estudiemos el caso en que a = -1. En este caso,

y vemos que hay un menor de orden 2 no nulo:

Por tanto rg(A) = 2 cuando a = -1.

Estudiamos ahora el caso en que a = 1. En este caso,

y vemos que hay un menor de orden 2 no nulo:

Por tanto rg(A) = 2 cuando a = 1.

En resumen:

el rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

24) Si

a) Prueba que para cualquier valor de a y b, rg(A) ≥ 2
b) Determina un par de valores para los cuales rg(A) = 3 y otro par de valores para los cuales rg(A) = 4

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

(a)

Tomamos los siguientes menores:

  • El formado por las dos primeras columnas y las filas segunda y tercera:
  • El formado por la primera y la última fila y las dos últimas columnas:

Observamos que b2 y (b+1)2 no pueden anularse a la vez. Esto nos dice que para cualquier b, al menos uno de los dos menores de orden dos anteriores es no nulo, de manera que, de manera que rg(A) ≥ 2

(b)

En esta pregunta damos dos pares de valores en las condiciones que se nos piden, pero no tienen por qué ser los únicos pares de valores válidos, es decir, puede haber más respuestas correctas.
Empezamos calculando el determinante de la matriz A.

Para que el rango sea 4, basta con que |A| ≠ 0. Esto ocurre por ejemplo si a = 1 y b =0.

Para que el rango sea 3, necesitamos que |A| = 0. Esto nos es equivalente a que a4 = b2(b+1)2. Vemos que uno de los menores de orden 3 es el formado por la primera, la segunda y la cuarta fila y por la primera, la segunda y la tercera columna y que se verifica que

Si tomamos a = √2, este menor es no nulo. Eligiendo además b = 1,

es decir |A| = 0, de manera que rg(A) = 3.

En resumen:

  • Si tomamos a = 1     y     b = 0,   entonces     rg(A) = 4.
  • Si elegimos a = √2     y     b = 1,   entonces     rg(A) = 3.

el rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

25) Sea k un número natural y sean las matrices

a) Calcular Ak
b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación AkX = BC

a)

Empezamos calculando Ak :

b)

Empezamos despejando X en la ecuación:

La ecuación tendrá solución si Ak es inversible. Veamos si lo es y calculemos su inversa:

Como Ak es inversible, la ecuación tiene solución. Calculémosla:

 

26) Sea la matriz

a) Calcule los valores de m para que tenga inversa
b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial    A·X·A = I2    donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y    X es una matriz cuadrada de orden 2.

a)

Empezamos por ver para qué valores de m es A inversible:

b)

Para m = 0, tenemos que

Por otra parte, para la ecuación     A·X·A = I2    se tiene que:

de manera que la ecuación tendrá solución si y sólo si A es inversible. Como ya hemos visto que A es inversible y conocemos su inversa, podemos calcular X:

27)
a) Despeja la matriz X en la ecuación AX - X = BX + C

b) Halla la matriz X sabiendo que:

a)

Despejamos X tal como se nos pide:

Observamos que la ecuación tendrá solución si y sólo si la matriz A - I - B es inversible.

b)

Empezamos viendo que     A - I - B     es inversible y, de serlo, calculando su inversa:

Como     A - I - B     es inversible y conocemos su inversa podemos calcular la solución de la ecuación:

28) Dada la matriz A:

a) Halla su inversa.
b) Resuelve la ecuación:


a)

Seguimos los siguientes pasos:


Calculamos la matriz adjunta de A:


Trasponemos la matriz anterior:


Calculamos la matriz inversa:


b)

Resolvemos la ecuación: